Question

（2013•閔行區(qū)二模）已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過M(2，1)，N(2

2

，0)兩點(diǎn)．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若平行于OM的直線l在y軸上的截距為b（b＜0），直線l交橢圓E于兩個(gè)不同點(diǎn)A、B，直線MA與MB的斜率分別為k₁、k₂，求證：k₁+k₂=0．

Answer 1

分析：（1）設(shè)橢圓E的方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n），把點(diǎn)M、N的坐標(biāo)代入解出即可；
（2）利用斜截式寫出直線l的方程，與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，表示出直線MA與MB的斜率分別為k₁、k₂，即可證明：k₁+k₂=0．

解答：解：（1）設(shè)橢圓E的方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n）
將M(2，1)，N(2

2

，0)代入橢圓E的方程，得

4m+n=1 8m=1

解得m=

1

8

，n=

1

2

，所以橢圓E的方程為

x2

8

+

y2

2

=1．
（2）∵直線l平行于OM，且在y軸上的截距為b，又kOM=

1

2

，
∴直線l的方程為y=

1

2

x+b．
由

y= 1 2 x+b x2 8 + y2 2 =1

得x²+2bx+2b²-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則x1+x2=-2b，x1x2=2b2-4．
又k1=

y1-1

x1-2

，k2=

y2-1

x2-2

，
故k1+k2=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=

(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

．
又y1=

1

2

x1+b，y2=

1

2

x2+b，
所以上式分子=(

1

2

x1+b-1)(x2-2)+(

1

2

x2+b-1)(x1-2)
=x1x2+(b-2)(x1+x2)-4(b-1)=2b2-4+(b-2)(-2b)-4(b-1)=0
故k₁+k₂=0．

點(diǎn)評：熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、把直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．本題需要較強(qiáng)的計(jì)算能力．