Question

已知橢圓E的中心在坐標原點O，焦點在坐標軸上，且經過M(2，1)、N(2

2

，0)兩點，P是E上的動點．
（1）求|OP|的最大值；
（2）若平行于OM的直線l在y軸上的截距為b（b＜0），直線l交橢圓E于兩個不同點A、B，求證：直線MA與直線MB的傾斜角互補．

Answer 1

分析：（1）設橢圓E的方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n），將M(2，1)，N(2

2

，0)代入橢圓E的方程，求得m，n即可；
（2）因為直線l平行于OM，且在y軸上的截距為b，所以可得直線l的方程為y=

1

2

x+b．與橢圓的方程聯立，得到根與系數的關系，利用直線的斜率公式即可證明結論．

解答：解：（1）設橢圓E的方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n）
將M(2，1)，N(2

2

，0)代入橢圓E的方程，得

4m+n=1 8m=1

解得m=

1

8

，n=

1

2

，
所以橢圓E的方程為

x2

8

+

y2

2

=1，
設點P的坐標為（x₀，y₀），則|OP|2=

x

2 0

+

y

2 0

．
又P（x₀，y₀）是E上的動點，所以

x 2 0

8

+

y 2 0

2

=1，得

x

2 0

=8-4

y

2 0

，
代入上式得|OP|2=

x

2 0

+

y

2 0

=8-3

y

2 0

，y0∈[-

2

，

2

]
故y₀=0時，|OP|_max=2

2

．|OP|的最大值為2

2

．
（2）因為直線l平行于OM，且在y軸上的截距為b，又kOM=

1

2

，
所以直線l的方程為y=

1

2

x+b．由

y= 1 2 x+b x2 8 + y2 2 =1

得x²+2bx+2b²-4=0，
設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則x1+x2=-2b，x1x2=2b2-4．
又k1=

y1-1

x1-2

，k2=

y2-1

x2-2

，
故k1+k2=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=

(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

．
又y1=

1

2

x1+b，y2=

1

2

x2+b，
所以上式分子=(

1

2

x1+b-1)(x2-2)+(

1

2

x2+b-1)(x1-2)
=x1x2+(b-2)(x1+x2)-4(b-1)=2b2-4+(b-2)(-2b)-4(b-1)=0
故k₁+k₂=0．
所以直線MA與直線MB的傾斜角互補．

點評：本題主要考查橢圓的方程與性質、直線斜率計算公式與直線方程、直線與橢圓的位置關系等基礎知識，考查運算能力、推理論證以及分析問題、解決問題的能力，考查數形結合、化歸與轉化思想．