Question

在△ABC中，若（

CA

+

CB

）•

AB

=

3

5

|

AB

|²，則

tanA

tanB

=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：利用數(shù)量積運(yùn)算、正弦定理、和差化積、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式即可得出．

解答： 解：∵

AB

=

CB

-

CA

，（

CA

+

CB

）•

AB

=

3

5

|

AB

|²，
∴(

CA

+

CB

)•(

CB

-

CA

)=

3

5

|

AB

|2，
∴

CB

2-

CA

2=

3

5

|

A B

|2，
∴a2-b2=

3

5

c2，
由正弦定理可得：sin2A-sin2B=

3

5

sin2C，
∴

1-cos2A

2

-

1-cos2B

2

=

3

5

sin2C，
即

1

2

(cos2B-cos2A)=

3

5

sin2C，
∴-sin（B+A）sin（B-A）=

3

5

sin²C，
∴5sin（A-B）=3sin（A+B），
∴5（sinAcosB-cosAsinB）=3（sinAcosB+cosAsinB），
∴sinAcosB=4cosAsinB，
∴tanA=4tanB，
∴

tanA

tanB

=4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)量積運(yùn)算、正弦定理、和差化積、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，屬于中檔題．