Question

18．若函數(shù)f（x）=log₂（a-2^x）+x-1存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)與對(duì)應(yīng)方程根之間的關(guān)系，我們可將f（x）存在零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程log₂（a-2^x）=1-x有根，結(jié)合對(duì)數(shù)方程和指數(shù)方程的解法，我們可將他轉(zhuǎn)化為一個(gè)二次方程根的存在性總是，再根據(jù)二次方程根的個(gè)數(shù)與△的關(guān)系及韋達(dá)定理，我們易構(gòu)造一個(gè)關(guān)于a的不等式，解不等式即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：若f（x）存在零點(diǎn)，
則方程log₂（a-2^x）=1-x有根
即2^1-x=a-2^x有根，
令2^x=t（t＞0）
則原方程等價(jià)于$\frac{2}{t}$=a-t有正根
即t²-at+2=0有正根，
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系t₁t₂=2＞0，
即若方程有正根，必有兩正根，
故有$\left\{\begin{array}{l}{{t}_{1}+{t}_{2}=a＞0}\\{{a}^{2}-8≥0}\end{array}\right.$，∴a≥2$\sqrt{2}$．
故答案為：$a≥2\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，其中根據(jù)指數(shù)方程和對(duì)數(shù)方程的解法，將函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程轉(zhuǎn)化為一個(gè)二次方程是解答的關(guān)鍵．