Question

【題目】已知函數(shù)，，其中．

（1）設(shè)兩曲線，有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同，用表示，并求的最大值；

（2）設(shè)，證明：若≥1，則對(duì)任意， ，，有

Answer 1

【答案】（1），最大值為（2）見解析

【解析】分析：（1）設(shè)f（x）與g（x）的圖象交于點(diǎn)P（x0，y0）（x0＞0），則有f（x0）=g（x0），求出導(dǎo)數(shù)，由斜率相等，求得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可得b的解析式，求出導(dǎo)數(shù)，單調(diào)區(qū)間，可得最大值；

（2）不妨設(shè)x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，原不等式變形得h（x2）﹣14x2＞h（x1）﹣14x1，構(gòu)造函數(shù)T（x）=h（x）﹣14x，求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得到結(jié)論．同理可證，當(dāng)x1＞x2時(shí)，命題也成立．

詳解：（1）設(shè)的圖象交于點(diǎn)，則有，

即 ①

又由題意知，即 ②

由②解得

將代入（1）整理得

令，則

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，

所以，即，的最大值為

（2）證明：不妨設(shè)，

變形得

令，，

，

所以 在上單調(diào)遞增，，

即成立

同理可證,當(dāng)時(shí),命題也成立

綜上, 對(duì)任意，，，不等式成立.