Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+a2（a、b∈R）
（1）若函數(shù)f（x）在x=1處有極值為10，求b的值；
（2）若a=﹣4，f（x）在x∈[0，2]上單調(diào)遞增，求b的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f'（x）=3x2+2ax+b，

若函數(shù)f（x）在x=1處有極值為10，

則 或 ，

當(dāng) 時，f'（x）=3x2+8x﹣11，

△=64+132＞0，所以函數(shù)有極值點(diǎn)；

當(dāng) 時，f′（x）=3（x﹣1）2≥0，

所以函數(shù)無極值點(diǎn)；

則b的值為﹣11

（2）解：a=﹣4時，f（x）=x3﹣4x2+bx+16，

f'（x）=3x2﹣8x+b≥0對任意的x∈[0，2]都成立，

即b≥﹣3x2+8x，x∈[0，2]，

令h（x）=﹣3x2+8x，對稱軸x= ，

函數(shù)h（x）在[0， ）遞增，在（ ，2]遞減，

故h（x）max=h（ ）= ，

故b≥ ，

則b的最小值為

【解析】（1）首先求出，根據(jù)題意得且，解關(guān)于a,b的方程組得到或，經(jīng)檢驗當(dāng)時函數(shù)無極值點(diǎn)，舍去。（2）由題意，將原問題轉(zhuǎn)化為，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得b的最小值為。
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．