Question

已知函數(shù)f（x）=x³+mx²-m²x+1（m為常數(shù)，且m＞0），當(dāng)x=-2時(shí)有極大值．
（1）求m的值；
（2）若曲線y=f（x）有斜率為-5的切線，求此切線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求f′（x），根據(jù)極值的概念，所以f′（-2）=0，這樣即可求出m，注意m的范圍；
（2）根據(jù)函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)和切線斜率的關(guān)系，設(shè)切點(diǎn)為（x₀，f（x₀）），所以有：f′（x₀）=-5，這樣即可求出x₀，進(jìn)而求出切點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)斜式方程寫出切線方程．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²+2mx-m²；
∴f′（-2）=12-4m-m²=0，解得：m=2，或-6（舍去）；
（2）f（x）=x³+2x²-4x+1，f′（x）=3x²+4x-4；
設(shè)切點(diǎn)為（x₀，f（x₀）），則：
f′（x₀）=3x02+4x0-4=-5，解得x0=-1，或-

1

3

；
∴切點(diǎn)為（-1，6），或（-

1

3

，

68

27

）；
∴切線方程為：y-6=-5（x+1），或y-

68

27

=-5(x+

1

3

)；
即：5x+y-1=0，或135x+27y-23=0．

點(diǎn)評(píng)：考查極值的概念，對(duì)于第一問注意m的范圍，函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)與切線斜率的關(guān)系，以及點(diǎn)斜式方程．