【題目】在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為,(為參數(shù)),將曲線經(jīng)過伸縮變換后得到曲線,在以原點為極點,軸正半軸為極軸的極坐標系中,直線的極坐標方程為.
(1)說明曲線是哪一種曲線,并將曲線的方程化為極坐標方程;
(2)已知點是曲線上的任意一點,求點到直線的距離的最小值.
【答案】(1)曲線以原點為圓心,半徑為的圓;
(2)
【解析】
(1)曲線的參數(shù)方程,的參數(shù)方程消去參數(shù),能求出的普通方程,以原點為圓心,半徑為的圓,由此能求出的極坐標方程.
(2)解法一:直線的普通方程為,由圓的半徑為,且圓心到直線的距離,從而圓與直線相離,由此能求出點到直線的距離的最小值;解法二:由直線的極坐標方程求出直線的普通方程為,曲線上的點到直線的距離,由此能求出點到直線的距離的最小值.
(1)曲線的參數(shù)方程為,(為參數(shù)),
將曲線經(jīng)過伸縮變換后得到曲線,
曲線的參數(shù)方程,
的參數(shù)方程消去參數(shù),
所以的普通方程為,
曲線以原點為圓心,半徑為的圓,
的極坐標為,即.
(2)解法一:直線的極坐標方程為,
直線的普通方程為,
因為圓的半徑為,且圓心到直線的距離,
因為,所以圓與直線相離,
所以圓上的點到直線的距離的最小值.
解法二:由直線的極坐標方程為
則直線的普通方程為,
曲線上的點到直線的距離
,
當時,即時,
取得最小值為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】綠水青山就是金山銀山.某山村為做好水土保持,退耕還林,在本村的山坡上種植水果,并推出山村游等旅游項目.為預(yù)估今年7月份游客購買水果的情況,隨機抽樣統(tǒng)計了去年7月份100名游客的購買金額.分組如下:,, ,得到如圖所示的頻率分布直方圖:
(1)請用抽樣的數(shù)據(jù)估計今年7月份游客人均購買水果的金額(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點作代表).
(2)若把去年7月份購買水果不低于80元的游客,稱為“水果達人”. 填寫下面列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有95%的把握認為“水果達人”與性別有關(guān)系?
水果達人 | 非水果達人 | 合計 | |
男 | 10 | ||
女 | 30 | ||
合計 |
(3)為吸引顧客,商家特推出兩種促銷方案.方案一:每滿80元可立減10元;方案二:金額超過80元可抽獎三次,每次中獎的概率為,且每次抽獎互不影響,中獎1次打9折,中獎2次打8折,中獎3次打7折.若每斤水果10元,你打算購買12斤水果,請從實際付款金額的數(shù)學(xué)期望的角度分析應(yīng)該選擇哪種優(yōu)惠方案.
附:參考公式和數(shù)據(jù):,.臨界值表:
2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | |
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.005 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,直線l的參數(shù)方程為為參數(shù)),以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,圓C的極坐標方程為ρ=asinθ(a≠0).
(1)求圓C的直角坐標方程與直線l的普通方程;
(2)設(shè)直線l截圓C的弦長是半徑長的倍,求a的值.
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【題目】如圖,矩形中,,是邊上異于端點的動點,于點,將矩形沿折疊至處,使面面.點分別為的中點.
(1)證明://面;
(2)設(shè),當x為何值時,四面體的體積最大,并求出最大值.
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【題目】2019年底,北京2022年冬奧組委會啟動志愿者全球招募,僅一個月內(nèi)報名人數(shù)便突破60萬,其中青年學(xué)生約有50萬人.現(xiàn)從這50萬青年學(xué)生志愿者中,按男女分層抽樣隨機選取20人進行英語水平測試,所得成績(單位:分)統(tǒng)計結(jié)果用莖葉圖記錄如下:
(Ⅰ)試估計在這50萬青年學(xué)生志愿者中,英語測試成績在80分以上的女生人數(shù);
(Ⅱ)從選出的8名男生中隨機抽取2人,記其中測試成績在70分以上的人數(shù)為X,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(Ⅲ)為便于聯(lián)絡(luò),現(xiàn)將所有的青年學(xué)生志愿者隨機分成若干組(每組人數(shù)不少于5000),并在每組中隨機選取個人作為聯(lián)絡(luò)員,要求每組的聯(lián)絡(luò)員中至少有1人的英語測試成績在70分以上的概率大于90%.根據(jù)圖表中數(shù)據(jù),以頻率作為概率,給出的最小值.(結(jié)論不要求證明)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)y=f(x)和y=g(x)在[-2,2]的圖像如圖所示,給出下列四個命題:
①方程f[g(x)]=0有且僅有6個根
②方程g[f(x)]=0有且僅有3個根
③方程f[f(x)]=0有且僅有5個根
④方程g[g(x)]=0有且僅有4個根
其中正確的命題是___
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),已知在有且僅有3個零點,下列結(jié)論正確的是( )
A.在上存在,,滿足
B.在有且僅有1個最小值點
C.在單調(diào)遞增
D.的取值范圍是
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【題目】某種“籠具”由內(nèi),外兩層組成,無下底面,內(nèi)層和外層分別是一個圓錐和圓柱,其中圓柱與圓錐的底面周長相等,圓柱有上底面,制作時需要將圓錐的頂端剪去,剪去部分和接頭忽略不計,已知圓柱的底面周長為,高為,圓錐的母線長為.
(1)求這種“籠具”的體積(結(jié)果精確到0.1);
(2)現(xiàn)要使用一種紗網(wǎng)材料制作50個“籠具”,該材料的造價為每平方米8元,共需多少元?
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