Question

【題目】已知函數(shù)().

（1）若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

（2）當(dāng)時(shí),若函數(shù)在上的最大值和最小值的和為1,求實(shí)數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）答案見(jiàn)解析.（2）

【解析】

（1）利用的導(dǎo)函數(shù)，求得的單調(diào)區(qū)間.

（2）利用的導(dǎo)函數(shù)，求得的單調(diào)區(qū)間，對(duì)分成，，三種情況進(jìn)行分類(lèi)討論，結(jié)合在區(qū)間上最大值和最小的和為，求得實(shí)數(shù)的值.

（1）當(dāng)a=3時(shí),f(x)=2x3﹣3x2+1,x∈R,

∴f'(x)=6x2﹣6x=6x(x﹣1),

令f'(x)>0得,x<0或x>1;令f'(x)<0得,0<x<1,

∴函數(shù)f(x)的的單調(diào)增區(qū)間為(﹣∞,0)和(1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),

（2）函數(shù)f(x)=2x3﹣ax2+1,a>0,

∴f'(x)=6x2﹣2ax=2x(3x﹣a),

令f'(x)=0得,x=0或,

列表:

x	(﹣∞,0)	0	(0,)		(,+∞)
f'(x)	+	0	﹣	0	+
f(x)	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

①當(dāng)0<a≤2時(shí),0,

∴函數(shù)f(x)在[﹣1,0]上單調(diào)遞增,在[0,]上單調(diào)遞減,在[,1]上單調(diào)遞增,

又∵f(﹣1)=﹣1﹣a,f(0)=1,f（1）=3﹣a≥1,f()=1,且0<f()<1,

∴f(x)max=f（1）=3﹣a,f(x)min=f(﹣1)=﹣1﹣a,

∴(3﹣a)+(﹣1﹣a)=1,

∴a,

②當(dāng)2<a<3時(shí),0,

∴函數(shù)f(x)在[﹣1,0]上單調(diào)遞增,在[0,]上單調(diào)遞減,在[,1]上單調(diào)遞增,

又∵f(﹣1)=﹣1﹣a,f(0)=1,f（1）=3﹣a,f()=1,且0<f()<1,0<f（1）<1,

∴f(x)max=f(0)=1,f(x)min=f(﹣1)=﹣1﹣a,

∴1+(﹣1﹣a)=1,

∴a=﹣1,不符合題意,舍去,

③當(dāng)a≥3時(shí),,

∴函數(shù)f(x)在[﹣1,0]上單調(diào)遞增,在[0,1]上單調(diào)遞減,

∴f(x)max=f(0)=1,

又∵f(﹣1)=﹣1﹣a,f（1）=3﹣a,∴f(x)min=f(﹣1)=﹣1﹣a,

∴1+(﹣1﹣a)=1,

∴a=﹣1,不符合題意,舍去,

綜上所述,若函數(shù)f(x)在[﹣1,1]上的最大值和最小值的和為1,實(shí)數(shù)a的值為.