【題目】已知平面直角坐標系中的一個橢圓,它的中心在原點,左焦點為,右頂點為,設點.
(1)求該橢圓的標準方程;
(2)若是橢圓上的動點,求線段的中點的軌跡方程;
(3)過原點的直線交橢圓于兩點,求面積的最大值,并求此時直線的方程.
【答案】(1)(2)(3)面積的最大值為,
【解析】
試題(1)利用橢圓的標準方程及其性質即可得出;(2)分別設點P,線段PA的中點M(x,y).利用中點坐標公式及“代點法”即可得出;(3)對直線BC的斜率分存在于不存在兩種情況討論,當直線BC的斜率存在時,把直線BC的方程與橢圓的方程聯(lián)立,解得點B,C的坐標,利用兩點間的距離公式即可得出|BC|,再利用點到直線的距離公式即可得出點A到直線BC的距離,利用三角形的面積計算公式即可得出,再利用導數(shù)得出其最值
試題解析:(1)設橢圓的方程為
由題意可知:,
故
所以橢圓的方程為:
(2)設,則有:
①
又因為:②
將②代入①得到點的軌跡方程:
(3)當直線的斜率不存在時,
當斜率存在時,設其方程為:設
由
不妨設,則
設點到直線的距離為,則:
=
當時,
當時,
上式當且僅當時,等號成立
綜上可知,面積的最大值為,此時直線的方程為:
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【題目】目前,某市出租車的計價標準是:路程以內(含)按起步價8元收取,超過后的路程按1.9元收取,但超過后的路程需加收的返空費(即單價為元)
(1)若,將乘客搭乘一次出租車的費用(單位:元)表示為行程(單位:)的分段函數(shù);
(2)某乘客行程為,他準備先乘一輛出租車行駛,然后再換乘另一輛出租車完成余下路程,請問:他這樣做是否比只乘一輛出租車完成全程更省錢?
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【題目】已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當x≥0時,f(x)=-x2+ax.
(1)若a=-2,求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若函數(shù)f(x)為R上的單調減函數(shù),
①求a的取值范圍;
②若對任意實數(shù)m,f(m-1)+f(m2+t)<0恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.
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【題目】攀枝花是一座資源富集的城市,礦產(chǎn)資源儲量巨大,已發(fā)現(xiàn)礦種76種,探明儲量39種,其中釩、鈦資源儲量分別占全國的63%和93%,占全球的11%和35%,因此其素有“釩鈦之都”的美稱.攀枝花市某科研單位在研發(fā)鈦合金產(chǎn)品的過程中發(fā)現(xiàn)了一種新合金材料,由大數(shù)據(jù)測得該產(chǎn)品的性能指標值(值越大產(chǎn)品的性能越好)與這種新合金材料的含量(單位:克)的關系為:當時,是的二次函數(shù);當時,.測得部分數(shù)據(jù)如下表:
(單位:克) | 0 | 2 | 6 | 10 | … |
8 | 8 | … |
(Ⅰ)求關于的函數(shù)關系式;
(Ⅱ)求該新合金材料的含量為何值時產(chǎn)品的性能達到最佳.
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【題目】下列說法正確的是( )
A. “f(0)”是“函數(shù)f(x)是奇函數(shù)”的充要條件
B. 若p:,,則:,
C. “若,則”的否命題是“若,則”
D. 若為假命題,則p,q均為假命題
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【題目】如圖,在四面體ABCD中,△ABC是等邊三角形,平面ABC⊥平面ABD,點M為棱AB的中點,AB=2,AD=,∠BAD=90°.
(Ⅰ)求證:AD⊥BC;
(Ⅱ)求異面直線BC與MD所成角的余弦值;
(Ⅲ)求直線CD與平面ABD所成角的正弦值.
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【題目】已知下列說法:
①命題“x0∈R,x+1>3x0”的否定是“x∈R,x2+1<3x”;
②已知p,q為兩個命題,若“p∨q”為假命題,則“¬p∧¬q”為真命題
③“a>2”是“a>5”的充分不必要條件
④“若xy=0,則x=0且y=0”的逆否命題為真命題
其中正確說法的個數(shù)為( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
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