Question

（本小題滿(mǎn)分12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線(xiàn)C₁：2x²－y²＝1.
(1)過(guò)C₁的左頂點(diǎn)引C₁的一條漸近線(xiàn)的平行線(xiàn)，求該直線(xiàn)與另一條漸近線(xiàn)及x軸圍成的三角形的面積；
(2)設(shè)斜率為1的直線(xiàn)l交C₁于P、Q兩點(diǎn)．若l與圓x²＋y²＝1相切，求證：OP⊥OQ；

Answer 1

(1) S＝|OA||y|＝.(2)見(jiàn)解析。

(1)先把雙曲線(xiàn)的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程可求出a值，從而得到左頂點(diǎn)A,漸近線(xiàn)方程：y＝±x,然后可設(shè)出過(guò)點(diǎn)A與漸近線(xiàn)y＝x平行的直線(xiàn)方程為y＝，即y＝x＋1.它再與另一條漸近線(xiàn)方程聯(lián)立解方程組可求出交點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到所求三角形的高，度顯然等于|OA|，面積得解.
(2) 設(shè)直線(xiàn)PQ的方程是y＝x＋b，因直線(xiàn)PQ與已知圓相切，
故＝1，即b²＝2.
由得x²－2bx－b²－1＝0（*）
設(shè)P(x₁，y₁)、Q(x₂，y₂)，然后證·＝x₁x₂＋y₁y₂＝x₁x₂＋(x₁＋b)(x₂＋b)=2x₁x₂＋b(x₁＋x₂)＋b²,借助（*）式方程中的韋達(dá)定理代入此式證明·＝0即可.
(1)雙曲線(xiàn)C₁：－y²＝1，左頂點(diǎn)A，漸近線(xiàn)方程：y＝±x.
過(guò)點(diǎn)A與漸近線(xiàn)y＝x平行的直線(xiàn)方程為y＝，即y＝x＋1.
解方程組得
所以所求三角形的面積為S＝|OA||y|＝.
(2)設(shè)直線(xiàn)PQ的方程是y＝x＋b，因直線(xiàn)PQ與已知圓相切，
故＝1，即b²＝2.
由得x²－2bx－b²－1＝0.
設(shè)P(x₁，y₁)、Q(x₂，y₂)，則
又y₁y₂＝(x₁＋b)(x₂＋b)，所以
·＝x₁x₂＋y₁y₂＝2x₁x₂＋b(x₁＋x₂)＋b²
＝2(－1－b²)＋2b²＋b²＝b²－2＝0.
故OP⊥OQ.