Question

已知△ABC的頂點B（-1，-3），AB邊上的高線CE所在直線的方程為x-3y-1=0，BC邊上中線AD所在直線的方程為8x+9y-3=0．
（1）求直線AC的方程；
（2）求三角形面積．

Answer 1

考點：直線的一般式方程,三角形的面積公式

專題：直線與圓

分析：（1）根據(jù)垂直關(guān)系算出直線CE的斜率，利用點斜式給出直線AB方程并整理，得AB方程為3x+y+6=0．由AD方程與AB方程聯(lián)解，可得A（-3，3），結(jié)合中點坐標公式解方程組算出C（4，1）．最后用直線方程的兩點式列式，整理即得直線AC的方程．
（2）由A（-3，3），B（-1，-3），C（4，1），得

AB

=（2，-6），

AC

=（7，-2），先求出cos＜

AB

，

AC

＞，再求出sin＜

AB

，

AC

＞=

1-( 13 265 )2

=

4 6

265

，由此利用公式S_△ABC=

1

2

|

AB

|•|

AC

|•sin＜

AB

，

AC

＞，能求出三角形面積．

解答： 解：（1）∵CE⊥AB，且直線CE的斜率為

1

3

，
∴直線AB的斜率k=

-1

1 3

=-3，
∴直線AB的方程為y+3=-3（x+1），即3x+y+6=0，
由

3x+y+6=0 8x+9y-3=0

，解得

x=-3 y=3

，
∴A點的坐標為（-3，3），
設(shè)D（a，b），可得C（2a+1，2b+3）
∴

8a+9b-3=0 2a+1-3(2b+3)-1=0

，解得

a= 3 2 b=-1

，
因此D（

3

2

，-1），從而可得C（4，1），
∴直線AC的方程為：

y-3

1-3

=

x+3

4+3

，
化簡整理，得直線AC的方程為：2x+7y-15=0．
（2）由（1）得A（-3，3），B（-1，-3），C（4，1），
∴

AB

=（2，-6），

AC

=（7，-2），
∴cos＜

AB

，

AC

＞=

26

40 • 53

=

13

265

，∴sin＜

AB

，

AC

＞=

1-( 13 265 )2

=

4 6

265

，
∴S_△ABC=

1

2

|

AB

|•|

AC

|•sin＜

AB

，

AC

＞=

1

2

×

40

×

53

×

4 6

265

=4

6

．
∴三角形面積為4

6

．

點評：本題考查直線方程的求法，考查三角形面積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．