Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=pn²-2n+q（p，q∈R，n∈N^*）．
（1）求q的值；
（2）若a₁與a₅的等差中項為18，b_n滿足a_n=2log₂b_n，求數(shù)列的{b_n}前n項和．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）a₁=S₁=p-2+q，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，由于數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，可得2a₂=a₁+a₃，即可解得
q=0．
（2）由于a₁與a₅的等差中項為18，可得a₁+a₅=2×18=2a₃，解得p=4．可得a_n=8n-6．由于b_n滿足
a_n=2log₂b_n，可 得bn=24n-3．數(shù)列的{b_n}是等比數(shù)列，首項b₁=2，公比q=2⁴=16．利用等比數(shù)列的{b_n}前n項和公式即可得出．

解答： 解：（1）a₁=S₁=p-2+q，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=pn²-2n+q-[p（n-1）²-2（n-1）+q]=（2n-1）p-2
∴a₂=3p-2，
a₃=5p-2，
∵數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，
∴2a₂=a₁+a₃，即2（3p-2）=p-2+q+5p-2，解得q=0．
（2）∵a₁與a₅的等差中項為18，∴a₁+a₅=2×18，∴a₃=18，
∴5p-2=18，解得p=4．
∴a_n=4（2n-1）-2=8n-6．
∵b_n滿足a_n=2log₂b_n，
∴8n-6=2log₂b_n，解得bn=24n-3．
∴數(shù)列的{b_n}是等比數(shù)列，首項b₁=2，公比q=2⁴=16．
∴數(shù)列的{b_n}前n項和T_n=

2(16n-1)

16-1

=

2

15

(16n-1)．

點評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、遞推式的意義、對數(shù)的運算法則，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．