【題目】教材曾有介紹:圓上的點處的切線方程為。我們將其結論推廣:橢圓上的點處的切線方程為,在解本題時可以直接應用。已知,直線與橢圓有且只有一個公共點.

(1)求的值;

(2)設為坐標原點,過橢圓上的兩點、分別作該橢圓的兩條切線、,且交于點。當變化時,求面積的最大值;

(3)在(2)的條件下,經(jīng)過點作直線與該橢圓交于兩點,在線段上存在點,使成立,試問:點是否在直線上,請說明理由.

【答案】(1)(2)(3)見解析

【解析】

(1)將直線y=x代入橢圓方程,得到x的方程,由直線和橢圓相切的條件:判別式為0,解方程可得a的值;(2)設切點A(x1,y1),B(x2,y2),可得切線,,,再將M代入上式,結合兩點確定一條直線,可得切點弦方程,AB的方程為x+my=1,將直線與橢圓方程聯(lián)立,運用韋達定理,求得△OAB的面積,化簡整理,運用基本不等式即可得到所求最大值;(3)點在直線上,因為

、,且,于是,向量坐標化,得、、、,將代入橢圓方程,結合在橢圓上,整理化簡得,即在直線上.

(1)聯(lián)立,整理得

依題意,即

(2)設、,于是直線的方程分別為、

代入、的方程得

所以直線的方程為

聯(lián)立

顯然,由,是該方程的兩個實根,有,

面積

當且僅當時,“=”成立,取得最大值

(3)點在直線上,因為

、、,且

于是,即、、

,

,即在直線上.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標系中,動點到定點的距離與到定直線的距離的比為,動點的軌跡記為.

1)求軌跡的方程;

2)若點在軌跡上運動,點在圓上運動,且總有

的取值范圍;

3)過點的動直線交軌跡兩點,試問:在此坐標平面上是否存在一個定點,使得無論如何轉(zhuǎn)動,以為直徑的圓恒過點?若存在,求出點的坐標.若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某公交公司為了方便市民出行,科學規(guī)劃車輛投放,在一個人員密集流動地段增設一個起點站,為了研究車輛發(fā)車間隔時間x與乘客等候人數(shù)y之間的關系,經(jīng)過調(diào)查得到如下數(shù)據(jù):

間隔時間x/

10

11

12

13

14

15

等候人數(shù)y/

23

25

26

29

28

31

調(diào)查小組先從這6組數(shù)據(jù)中選取4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用剩下的2組數(shù)據(jù)進行檢驗.檢驗方法如下:先用求得的線性回歸方程計算間隔時間對應的等候人數(shù),再求與實際等候人數(shù)y的差,若差值的絕對值都不超過1,則稱所求方程是“恰當回歸方程”.

1)從這6組數(shù)據(jù)中隨機選取4組數(shù)據(jù),求剩下的2組數(shù)據(jù)的間隔時間相鄰的概率;

2)若選取的是中間4組數(shù)據(jù),求y關于x的線性回歸方程,并判斷此方程是否是“恰當回歸方程”.

附:對于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為:,.

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【題目】橢圓的離心率為,短軸端點與兩焦點圍成的三角形面積為.

(1)求橢圓的方程;

(2)設直線與橢圓交于兩點,且過點為坐標原點,當△為直角三角形,求直線的斜率.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,四棱錐的底面是菱形,底面,分別是的中點,,,.

I)證明:;

II)求直線與平面所成角的正弦值;

III)在邊上是否存在點,使所成角的余弦值為,若存在,確定點位置;若不存在,說明理由.

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【題目】如圖1,菱形中,,, .將沿翻折到,使,如圖2

)求證:平面平面

)求直線AE與平面ABC所成角的正弦值;

)設為線段上一點,若平面,求的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某商場營銷人員進行某商品的市場營銷調(diào)查時發(fā)現(xiàn),每回饋消費者一定的點數(shù),該商品每天的銷量就會發(fā)生一定的變化,經(jīng)過試點統(tǒng)計得到以下表:

反饋點數(shù)t

1

2

3

4

5

銷量(百件)/天

0.5

0.6

1

1.4

1.7

(Ⅰ)經(jīng)分析發(fā)現(xiàn),可用線性回歸模型擬合當?shù)卦撋唐蜂N量(千件)與返還點數(shù)之間的相關關系.試預測若返回6個點時該商品每天的銷量;

(Ⅱ)若節(jié)日期間營銷部對商品進行新一輪調(diào)整.已知某地擬購買該商品的消費群體十分龐大,經(jīng)營銷調(diào)研機構對其中的200名消費者的返點數(shù)額的心理預期值進行了一個抽樣調(diào)查,得到如下一份頻數(shù)表:

返還點數(shù)預期值區(qū)間

(百分比)

[1,3)

[3,5)

[5,7)

[7,9)

[9,11)

[11,13)

頻數(shù)

20

60

60

30

20

10

(1)求這200位擬購買該商品的消費者對返點點數(shù)的心理預期值的樣本平均數(shù)及中位數(shù)的估計值(同一區(qū)間的預期值可用該區(qū)間的中點值代替;估計值精確到0.1);

(2)將對返點點數(shù)的心理預期值在的消費者分別定義為“欲望緊縮型”消費者和“欲望膨脹型”消費者,現(xiàn)采用分層抽樣的方法從位于這兩個區(qū)間的30名消費者中隨機抽取6名,再從這6人中隨機抽取3名進行跟蹤調(diào)查,設抽出的3人中 “欲望緊縮型”消費者的人數(shù)為隨機變量,求的分布列及數(shù)學期望.

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【題目】已知動點滿足,記M的軌跡為曲線C,直線l)交曲線CPQ兩點,點P在第一象限,軸,垂足為E,連接QE并延長交曲線C于點G.

(1)求曲線C的方程,并說明曲線C是什么曲線;

(2)若,求的面積.

(3)求面積的最大值.

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【題目】在△ABC中,內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為ab、c,且sinAsinBcosBsin2BcosA=2 sinCcosB.

(1)求tanB的值;

(2)若△ABC的外接圓半徑為R,求的值.

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