Question

已知函數(shù)f（x）=Asin²（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜函數(shù)，且y=f（x）的最大值為2，其圖象相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為2，并過點(diǎn)（1，2）．
（1）求φ；
（2）求f（x）圖象的對(duì)稱中心；
（3）計(jì)算f（1）+f（2）+…+f（2008）．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意，可求得A=2，ω=，再利用y=f（x）過點(diǎn)（1，2）即可求得φ；
（2）由（1）可知，y=1-cos（x+）=1+sinx，令x=kπ可求得x，從而可得f（x）圖象的對(duì)稱中心；
（3）依題意，可求f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=4，利用y=f（x）的周期為4及可求得答案．
解答：解：（1）y=Asin²（ωx+φ）=-cos（2ωx+2φ），
∵y=f（x）的最大值為2，A＞0，
∴+=2，A=2
又∵其圖象相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為2，ω＞0，
∴•=2，ω=，
∴f（x）=1-cos（x+2φ）．
又y=f（x）過點(diǎn)（1，2），
∴cos（x+2φ）=-1，
∴+2φ=2kπ+π，k∈Z，
∴2φ=2kπ+，k∈Z，
∴φ=kπ+，k∈Z．
又0＜φ＜，
∴φ=．
（2）∵φ=，
∴y=1-cos（x+）=1+sinx，
 令x=kπ得：x=2k，
所以函數(shù)的對(duì)稱中心為（2k，1），k∈Z．
（3）∵f（x）=1+sinx，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+1+0+1=4，
又y=f（x）的周期為4，2008=4×502
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2008）=4×502=2008．
點(diǎn)評(píng)：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查正弦函數(shù)的對(duì)稱中心，考查運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值，屬于中檔題．