Question

若|x|≤

π

4

，且f（x）=cos²x-acosx的最小值為-

1

4

，求a的值

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：由題意可得

2

2

cosx≤1，f（x）=(cosx-

a

2

)2-

a2

4

，再根據(jù)f（x）的最小值為-

1

4

，利用二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論求得a的值．

解答： 解：由|x|≤

π

4

，可得

2

2

≤cosx≤1，又f（x）=cos²x-acosx=(cosx-

a

2

)2-

a2

4

，
∴當(dāng)

a

2

＜

2

2

時(shí)，則由f（x）的最小值為(

2

2

-

a

2

)2-

a2

4

=-

1

4

，求得a=

3 2

4

；
當(dāng)

a

2

∈[

2

2

，1]時(shí)，則由f（x）的最小值為-

a2

4

=-

1

4

，求得a=1，或 a=-1（舍去）；
當(dāng)

a

2

＞1時(shí)，則由f（x）的最小值為1-a=-

1

4

，求得a=

5

4

（舍去）．
綜上可得，a=

3 2

4

，或a=1，
故答案為：

3 2

4

，或1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查余弦函數(shù)的定義域和值域，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬中檔題．