【題目】已知函數(shù)f(x)=ax(lnx﹣1)﹣x2(a∈R)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)x1 , x2 , 且x1<x2 . (Ⅰ)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)若不等式lnx1+λlnx2>1+λ恒成立,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.
【答案】解:(Ⅰ)∵f(x)=ax(lnx﹣1)﹣x2(a∈R), ∴f′(x)=alnx﹣2x,
依題意得x1 , x2是alnx﹣2x=0的兩個(gè)不等正實(shí)數(shù)根,
∴a≠0, ,
令g(x)= ,
,
當(dāng)x∈(0,e)時(shí),g′(x)>0;當(dāng)x∈(e,+∞)時(shí),g′(x)<0,
∴g(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e,+∞)上單調(diào)遞減,且g(1)=0,
當(dāng)x>e時(shí),g(x)>0,
∴0< <g(e)=
,
解得a>2e,故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2e,+∞).
(Ⅱ)由(Ⅰ)得alnx1=2x1 , alnx2=2x2 ,
兩式相減,得a(lnx1﹣lnx2)=2(x1﹣x2),a=2 ,
∴l(xiāng)nx1+λlnx2>1+λ,∴ >1+λ,∴2(x1+λx2)>a(1+λ),
∴x1+λx2> ,∴
>1+λ,
∴ >1+λ,
∵0<x1<x2 , 令t= ∈(0,1),∴
,
∴(t+λ)lnt﹣(1+λ)(t﹣1)<0,
令h(t)=(t+λ)lnt﹣(1+λ)(t﹣1),
則h′(t)=lnt+ ﹣λ,
令I(lǐng)(t)=lnt+ ﹣λ,則I′(t)=
=
,(t∈(0,1)),
①當(dāng)λ≥1時(shí),I′(t)<0,∴h′(t)在(0,1)上單調(diào)遞減,∴h′(t)>h′(1)=0,
∴h(t)在(0,1)上單調(diào)遞增,∴h(t)<h(1)=0,符合題意.
②當(dāng)λ≤0時(shí),I′(t)>0.∴h′(t)在(0,1)上單調(diào)遞增,∴h′(t)<h′(1)=0,
∴h′(t)在(0,1)上單調(diào)遞減,∴h(t)>h(1)=0,不符合題意
③當(dāng)0<λ<1時(shí),I′(t)>0,λ<t<1,∴h′(t)在(λ,1)上單調(diào)遞增,
∴h′(t)<h′(1)=0,
∴h(t)在(λ,1)上單調(diào)遞減,∴h(t)>h(1)=0,不符合題意.
綜上所述,實(shí)數(shù)λ的取值范圍是[1,+∞).
【解析】(Ⅰ)求出f′(x)=alnx﹣2x,a≠0, ,令g(x)=
,
,由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.(Ⅱ)由(Ⅰ)得alnx1=2x1 , alnx2=2x2 , 兩式相減,得a(lnx1﹣lnx2)=2(x1﹣x2),a=2
,從而
>1+λ,令t=
∈(0,1),得(t+λ)lnt﹣(1+λ)(t﹣1)<0,令h(t)=(t+λ)lnt﹣(1+λ)(t﹣1),則h′(t)=lnt+
﹣λ,令I(lǐng)(t)=lnt+
﹣λ,則I′(t)=
=
,(t∈(0,1)),由此利用分類討論思想,結(jié)合導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實(shí)數(shù)λ的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案,需要掌握求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在
附近的左側(cè)
,右側(cè)
,那么
是極大值(2)如果在
附近的左側(cè)
,右側(cè)
,那么
是極小值;求函數(shù)
在
上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)
在
內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)
的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值
,
比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】九十年代,政府間氣候變化專業(yè)委員會(huì)(IPCC)提供的一項(xiàng)報(bào)告指出:使全球氣候逐年變暖的一個(gè)重要因素是人類在能源利用與森林砍伐中使CO2濃度增加.據(jù)測(cè),1990年、1991年、1992年大氣中的CO2濃度分別比1989年增加了1個(gè)可比單位、3個(gè)可比單位、6個(gè)可比單位。若用函數(shù)模擬九十年代中每年CO2濃度增加的可比單位數(shù)y與年份增加數(shù)x的關(guān)系,模擬函數(shù)可選用二次函數(shù)或函數(shù)(其中a、b、c為常數(shù)).
(Ⅰ)寫出這兩個(gè)函數(shù)的解釋式;
(Ⅱ)若知1994年大氣中的CO2濃度比1989年增加了16個(gè)可比單位,請(qǐng)問用以上哪個(gè)函數(shù)作為模擬函數(shù)與1994年的實(shí)際數(shù)據(jù)更接近?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家,某市為了制定合理的節(jié)水方案,對(duì)居民用水情況進(jìn)行了調(diào)查,通過抽樣,獲得了某年100位居民每人的月均用水量單位:噸
,將數(shù)據(jù)按照
,
,
分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)設(shè)該市有30萬居民,估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)說明理由;
(2)估計(jì)居民月均用水量的中位數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在多面體中,
為等邊三角形,
,
點(diǎn)
為邊
的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面
;
(Ⅱ)求證:平面平面
;
(Ⅲ)求直線與平面
所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某研究型學(xué)習(xí)小組調(diào)查研究高中生使用智能手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)的影響,部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下:
使用智能手機(jī) | 不使用智能手機(jī) | 合計(jì) | |
學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)秀 | |||
學(xué)習(xí)成績(jī)不優(yōu)秀 | |||
合計(jì) |
(1)根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),你是否有 的把握認(rèn)為使用智能手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)有影響?
(2)為了進(jìn)一步了解學(xué)生對(duì)智能手機(jī)的使用習(xí)慣,現(xiàn)在對(duì)以上使用智能手機(jī)的高中時(shí)采用分層抽樣的方式,抽取一個(gè)容量為 的樣本,若抽到的學(xué)生中成績(jī)不優(yōu)秀的比成績(jī)優(yōu)秀的多
人,求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+(a-1)x+a2-5=0}.
(1)若A∩B={2},求實(shí)數(shù)a的值;
(2)若A∪B=A,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=sinωxcosωx﹣ (ω>0)圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸為
.
(1)求函數(shù)y=f(x)的對(duì)稱軸方程;
(2)若函數(shù)y=f(x)﹣ 在(0,π)上的零點(diǎn)為x1 , x2 , 求cos(x1﹣x2)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù),則下列說法不正確的是( )
A.其圖象開口向上,且始終與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)
B.無論取何實(shí)數(shù),其圖象始終過定點(diǎn)
C.其圖象對(duì)稱軸的位置沒有確定,但其形狀不會(huì)因的取值不同而改變
D.函數(shù)的最小值大于
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