Question

如圖，四棱錐S－ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，P為BC邊的中點，SB與平面ABCD所成的角為45°，且AD＝2，SA＝1．

(1)求證：PD⊥平面SAP；

(2)求二面角A－SD－P的大小．

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)因為底面， 　　所以，∠SBA是SB與平面ABCD所成的角　　1分 　　由已知∠SBA＝45°，所以AB＝SA＝1 　　易求得，AP＝PD＝　　2分 　　又因為AD＝2，所以AD2＝AP2＋PD2，所以　　3分 　　因為SA⊥底面ABCD，平面ABCD， 　　所以SA⊥PD　　4分 　　由于SA∩AP＝A　所以平面SAP　　5分 　　(2)設Q為AD的中點，連結PQ　　6分 　　由于SA⊥底面ABCD，且SA平面SAD，則平面SAD⊥平面PAD　　7分 　　因為PQ⊥AD，所以PQ⊥平面SAD 　　過Q作QR⊥SD，垂足為R，連結PR， 　　由三垂線定理可知PR⊥SD， 　　所以∠PRQ是二面角A－SD－P的平面角　　9分 　　容易證明△DRQ∽△DAS，則 　　因為DQ＝1，SA＝1，，所以　　10分 　　在Rt△PRQ中，因為PQ＝AB＝1，所以　　11分 　　所以二面角A－SD－P的大小為　　12分 　　或：過A在平面SAP內作，且垂足為H，在平面SAD內作，且垂足為E，連接HE，平面SAP．平面SDP　　7分 　　∴HE為AE在平面SPD內的射影，∴由三垂線定理得 　　從而是二面角A－SD－P的平面角　　9分 　　在中，，在中，， 　　　　11分 　　即二面角的大小為　　12分 　　解法二：因為底面， 　　所以，∠SBA是SB與平面ABCD所成的角　　1分 　　由已知∠SBA＝45°，所以AB＝SA＝1 　　建立空間直角坐標系(如圖) 　　由已知，P為BC中點． 　　于是A(0，0，0)、B(1，0，0)、P(1，1，0)、D(0，2，0)、S(0，0，1)　　2分 　　(1)易求得， 　　，　　3分 　　因為，＝0． 　　所以， 　　由于AP∩SP＝P，所以平面SAP　　5分 　　(2)設平面SPD的法向量為 　　由，得　　解得， 　　所以　　8分 　　又因為AB⊥平面SAD，所以是平面SAD的法向量，易得　　9分 　　所以　　11分 　　所求二面角的大小為　　12分