如圖,四棱錐S-ABCD底面ABCD是正方形,SA⊥底面ABCD,E是SC上一點,且SE=2EC,SA=6,AB=2.
(1)求證:平面EBD⊥平面SAC;
(2)求三棱錐E-BCD的體積V.
分析:(1)由線面垂直的性質(zhì),結(jié)合SA⊥底面ABCD可得SA⊥BD,再由AC⊥BD結(jié)合線面垂直的判定定理得到BD⊥平面SAC,最后由面面垂直的判定定理得到平面EBD⊥平面SAC
(2)由線面垂直的判定定理,結(jié)合SA⊥底面ABCD,可得平面SAC⊥底面ABCD,過點E作EF⊥AC于F,則EF⊥底面ABCD,代入棱錐體積公式,可得答案.
解答:證明:(1)∵SA⊥底面ABCD
∴SA⊥BD
又底面ABCD是正方形,
∴AC⊥BD
又∵SA∩AC=A,SA,AC?平面SAC
∴BD⊥平面SAC,
∵BD?平面EBD,
∴平面EBD⊥平面SAC…(6分)
解:(2)∵SA⊥底面ABCD,
∴平面SAC⊥底面ABCD,過點E作EF⊥AC于F,則EF⊥底面ABCD,
∴EF∥SA,
∵SE=2EC,SA=6,
∴EF=2,
∴V=
1
3
S△BCD•EF=
4
3
.…(12分)
點評:本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定,棱錐的體積公式,熟練掌握空間線線垂直,線面垂直及面面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化是解答的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,四棱錐S-ABCD中,SD⊥底面ABCD,AB∥DC,AD⊥DC,AB=AD=1,DC=SD=2,E為棱SB上的一點,平面EDC⊥平面SBC.
(Ⅰ)證明:SE=2EB;
(Ⅱ)求二面角A-DE-C的大小.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,四棱錐S-ABCD的底面是邊長為3的正方形,SD丄底面ABCD,SB=3
3
,點E、G分別在AB,SG 上,且AE=
1
3
AB  CG=
1
3
SC.
(1)證明平面BG∥平面SDE;
(2)求面SAD與面SBC所成二面角的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•醴陵市模擬)如圖,四棱錐S-ABCD的底面是矩形,SA⊥底面ABCD,P為BC邊的中點,AD=2,AB=1.SP與平面ABCD所成角為
π4
. 
(1)求證:平面SPD⊥平面SAP;
(2)求三棱錐S-APD的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2006•西城區(qū)二模)如圖,四棱錐S-ABCD中,平面SAC與底面ABCD垂直,側(cè)棱SA、SB、SC與底面ABCD所成的角均為45°,AD∥BC,且AB=BC=2AD.
(1)求證:四邊形ABCD是直角梯形;
(2)求異面直線SB與CD所成角的大;
(3)求直線AC與平面SAB所成角的大。

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