Question

9．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠ABC=$\frac{π}{3}$，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，M為PA的中點，N為BC的中點
（1）證明：直線MN∥平面PCD；
（2）求異面直線AB與MD所成角的余弦值；
（3）求點B到平面PCD的距離．

Answer 1

分析 （1）取PD的中點Q，連接QM，QC．利用三角形中位線定理與平行四邊形的判定與性質定理可得NM∥QC，再利用線面平行的判定定理即可判斷出結論．
（2）由CD∥AB，可得∠MDC為異面直線AB與MD所成的角（或其補角），在△MDC中利用余弦定理即可得出．
（3）由AB∥平面PCD，可得點A和點B到平面PCD的距離相等．取CD的中點E，連接AE，PE，過A作AH⊥PE，垂足為H．在△PAE中，利用三角形面積計算公式即可得出．

解答 （1）證明：取PD的中點Q，連接QM，QC．
∵QM∥AD，AD∥CN，∴MQ∥CN，又MQ=CN=$\frac{1}{2}$AD．
∴四邊形MNCQ是平行四邊形．
∴NM∥QC，又MN?平面PCD，CQ?平面PCD，
∴MN∥平面PCD．
（2）解：∵CD∥AB，∴∠MDC為異面直線AB與MD所成的角（或其補角）．
∵∠ABC=$\frac{π}{3}$，∴AC=CD=AD=2，
∵PA⊥平面ABCD，∴MA⊥AC，MA⊥AD．
又MA=1，AC=AD=2，MC=MD=$\sqrt{5}$．
CD=2，∴cos∠MDC=$\frac{（\sqrt{5}）^{2}+{2}^{2}-（\sqrt{5}）^{2}}{2×\sqrt{5}×2}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴AB與MD所成角余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（3）解：∵AB∥平面PCD，∴點A和點B到平面PCD的距離相等．
取CD的中點E，連接AE，PE，過A作AH⊥PE，垂足為H．
∠ABC=$\frac{π}{3}$，∴AC=CD=AD，∴AE⊥CD．
∵PA⊥平面ABCD，PA⊥CD，∴CD⊥平面PAE，∴CD⊥PA．
∵CD⊥平面PAE，∴CD⊥AH，∴AH⊥平面PCD，
∴AH即為點B到平面PCD的距離．
∵PA=2，AE=$\sqrt{3}$，PA⊥AE，∴AH=$\frac{PA×AE}{\sqrt{P{A}^{2}+A{E}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

點評 本題考查了三角形中位線定理、平行四邊形的判定與性質定理、菱形的性質、線面平行與垂直的判定定理與性質定理、異面直線所成的角、余弦定理、點到平面的距離、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．