Question

（本題滿分13分）

在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD＝AA₁＝1，AB＝2，點(diǎn)E的棱AB上移動(dòng)。

（I）證明：D₁EA₁D；

（II）AE等于何值時(shí)，二面角D₁-EC-D的大小為。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）二面角的大小為.

【解析】

試題分析：（1）欲證DE⊥平面A₁E，根據(jù)線面垂直的判定定理可知只需證AE⊥DE，A₁A⊥DE，即可；

解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則 （2分）

（Ⅰ）  （4分）

（Ⅱ）設(shè)平面的法向量，

∴

由  令，

∴  （8分）

依題意

∴（不合，舍去）， .

∴時(shí)，二面角的大小為.  （13分）

考點(diǎn)：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及二面角的求解，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．

點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是能利用向量的知識(shí)來(lái)表示空間的點(diǎn)，然后借助向量在幾何中的運(yùn)用，求證垂直和二面角的平面角的問(wèn)題。