若圓過點且與直線相切，設圓心的軌跡為曲線，、為曲線上的兩點，點，且滿足.

（1）求曲線的方程；

（2）若，直線的斜率為，過、兩點的圓與拋物線在點處有共同的切線，求圓的方程；

（3）分別過、作曲線的切線，兩條切線交于點，若點恰好在直線上，求證：與均為定值.

 

【答案】

（1）；（2）；（3）0.

【解析】本試題主要考查了直線與圓的位置關系，以及直線與拋物線的位置關系的綜合運用。

（1）依題意,點C到定點M的距離等于到定直線L的距離，所以點C的軌跡為拋物線，曲線E的方程為；   

（2）直線AB的方程是,即x-2y+12=0，

由聯(lián)立x-2y+12=0和，得點A、B、、的坐標是（6,9）或（-4,4），

當A（6,9）或B（-4,4），時，由得,，

 所以拋物線在點A處切線的斜率為，

直線NA的方程為，即x+3y-33=0…………①

線段AB的中點坐標為(1,13/2)，中垂線方程為，…………②

由①、②解得，

于是，圓C的方程為

，

當B（6,9）或A（-4,4），時，拋物線在點A處切線的斜率為，此時切線與AB垂直，所求圓為以AB為直徑的圓，可求得圓為， 

（3）設，,Q(a,-1)，過點A的切線方程為，

即，同理可得，所以,，

又，所以直線的方程為，

亦即,所以t=1，

而,，所以

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：2010年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（重慶卷）數(shù)學文史類模擬試卷（三） 題型：解答題

已知動圓P過點且與直線相切．

（Ⅰ） 求動圓圓心P的軌跡E的方程；

（Ⅱ） 設直線與軌跡E交于點A、B，M是線段AB的中點，過M作軸的垂線交軌跡E于N．

① 證明：軌跡E點N處的切線與AB平行；

② 是否存在實數(shù)，使？若存在，求的值；若不存在，說明理由．

 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知動圓P過點數(shù)學公式且與直線數(shù)學公式相切．
（1）求動圓圓心P的軌跡E的方程；
（2）設直線y=x+2與軌跡E交于點A、B，M是線段AB的中點，過M作x軸的垂線交軌跡E于N．
①證明：軌跡E點N處的切線l與AB平行；
②是否存在實數(shù)a，使數(shù)學公式？若存在，求a的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若圓過點且與直線相切，設圓心的軌跡為曲線，、為曲線上的兩點，點，且滿足.

（1）求曲線的方程；

（2）若，直線的斜率為，過、兩點的圓與拋物線在點處有共同的切線，求圓的方程；

（3）分別過、作曲線的切線，兩條切線交于點，若點恰好在直線上，求證：與均為定值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本小題滿分13分）若圓過點且與直線相切，設圓心的軌跡為曲線，、為曲線上的兩點，點，且滿足.

（1）求曲線的方程；

（2）若，直線的斜率為，過、兩點的圓與拋物線在點處有共同的切線，求圓的方程；

（3）分別過、作曲線的切線，兩條切線交于點，若點恰好在直線上，求證：與均為定值.

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