若圓過點且與直線相切,設(shè)圓心的軌跡為曲線,、為曲線上的兩點,點,且滿足.
(1)求曲線的方程;
(2)若,直線的斜率為,過、兩點的圓與拋物線在點處有共同的切線,求圓的方程;
(3)分別過、作曲線的切線,兩條切線交于點,若點恰好在直線上,求證:與均為定值.
21.解:(1)依題意,點到定點的距離等于到定直線的距離,所以點的軌跡為拋物線,曲線的方程為; …………………………………………………………3分
(2)直線的方程是,即,
由得點、的坐標(biāo)是或,………………………………5分
當(dāng)、時,由得,,
所以拋物線在點處切線的斜率為,
直線的方程為,即…………①
線段的中點坐標(biāo)為,中垂線方程為,即…………②
由①、②解得, …………………………………………………………7分
于是,圓的方程為,
即 , ………………………………………………………8分
當(dāng)、時,拋物線在點處切線的斜率為,此時切線與垂直,所求圓為以為直徑的圓,可求得圓為, ……9分
(3)設(shè),,,過點的切線方程為,
即,同理可得,所以,,……10分
又=,所以直線的方程為,
即,亦即,所以,………………………………………11分
而,,所以
. …………………………………13分
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年甘肅省高三百題集理科數(shù)學(xué)試卷(解析版)(四) 題型:解答題
若圓過點且與直線相切,設(shè)圓心的軌跡為曲線,、為曲線上的兩點,點,且滿足.
(1)求曲線的方程;
(2)若,直線的斜率為,過、兩點的圓與拋物線在點處有共同的切線,求圓的方程;
(3)分別過、作曲線的切線,兩條切線交于點,若點恰好在直線上,求證:與均為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(重慶卷)數(shù)學(xué)文史類模擬試卷(三) 題型:解答題
已知動圓P過點且與直線相切.
(Ⅰ) 求動圓圓心P的軌跡E的方程;
(Ⅱ) 設(shè)直線與軌跡E交于點A、B,M是線段AB的中點,過M作軸的垂線交軌跡E于N.
① 證明:軌跡E點N處的切線與AB平行;
② 是否存在實數(shù),使?若存在,求的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(本小題滿分13分)若圓過點且與直線相切,設(shè)圓心的軌跡為曲線,、為曲線上的兩點,點,且滿足.
(1)求曲線的方程;
(2)若,直線的斜率為,過、兩點的圓與拋物線在點處有共同的切線,求圓的方程;
(3)分別過、作曲線的切線,兩條切線交于點,若點恰好在直線上,求證:與均為定值.
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