Question

已知O為坐標(biāo)原點，對于函數(shù)f（x）=asinx+bcosx，稱向量

OM

=（a，b）為函數(shù)f（x）的伴隨向量，設(shè)函數(shù)g（x）=

3

sin(

π

2

+x)+cos(

π

2

-x)，
（Ⅰ）求g（x）的伴隨向量

OM

的模；
（Ⅱ）若h（x）=g²（x），求h（x）在[0，

π

2

]內(nèi)的最值及對應(yīng)x的值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),兩角和與差的余弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用兩角和與差的正弦函數(shù)及三角恒等變換可得g（x）=sinx+

3

cosx，從而可得a與b的值，繼而知

OM

及向量

OM

的模；
（Ⅱ）0≤x≤

π

2

⇒

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值即可求得h（x）在[0，

π

2

]內(nèi)的最值及對應(yīng)x的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵g(x)=

3

sin(

π

2

+x)+cos(

π

2

-x)=

3

cosx+sinx=sinx+

3

cosx…（3分）
∴

OM

=(1，

3

)，|

OM

|=

1+3

=2…（6分）；
（Ⅱ）由已知可得h(x)=(sinx+

3

cosx)2=sin2x+3cos2x+2

3

sinxcosx=1+2cos2x+

3

sin2x=

3

sin2x+cos2x+2=2sin(2x+

π

6

)+2…（8分）
∵0≤x≤

π

2

，

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

…（9分）
∴當(dāng)2x+

π

6

=

7π

6

即x=

π

2

時，函數(shù)h（x）的最小值為1；
當(dāng)2x+

π

6

=

π

2

即x=

π

6

時，函數(shù)h（x）的最大值為4；…（12分）

點評：本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)，考查三角恒等變換及其應(yīng)用，突出正弦函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)與最值的考查，屬于中檔題．