Question

【題目】如圖，在矩形中，將沿對角線折起，使點到達點的位置，且平面平面.

（1）求證：；

（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）由四邊形是矩形，得，推導(dǎo)出平面，可得出，再由，可得出平面，由此能證明；

（2）過作于點，則平面，以所在直線為軸，過作軸平行于，為軸，建立空間直角坐標系，由平面，得出直線與平面所成角為，設(shè)，可得，然后利用空間向量法能求出二面角的余弦值.

（1）由四邊形是矩形，得，

平面平面，平面平面，平面，平面，

平面，則，

又，，平面，

平面，；

（2）過作，垂足為點，

平面平面，平面平面，平面，平面，

以點為坐標原點，以所在直線為軸，過作軸平行于，以所在直線為軸，建立如下圖所示的空間直角坐標系，

由（1）知平面，是直線與平面所成角，即，

在中，，

設(shè)，則，，

平面，可取平面的一個法向量，

由（1）知，，在中，，，，，

，，，

，，，

，，

設(shè)平面的法向量，

由，取，則，，

所以，平面的一個法向量為，

.

由圖形可知，二面角的平面角為銳角，它的余弦值為.