【題目】為實現(xiàn)2020年全面建設(shè)小康社會,某地進(jìn)行產(chǎn)業(yè)的升級改造.經(jīng)市場調(diào)研和科學(xué)研判,準(zhǔn)備大規(guī)模生產(chǎn)某高科技產(chǎn)品的一個核心部件,目前只有甲、乙兩種設(shè)備可以獨立生產(chǎn)該部件.如圖是從甲設(shè)備生產(chǎn)的部件中隨機抽取400件,對其核心部件的尺寸x,進(jìn)行統(tǒng)計整理的頻率分布直方圖.
根據(jù)行業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定,該核心部件尺寸x滿足:|x﹣12|≤1為一級品,1<|x﹣12|≤2為二級品,|x﹣12|>2為三級品.
(Ⅰ)現(xiàn)根據(jù)頻率分布直方圖中的分組,用分層抽樣的方法先從這400件樣本中抽取40件產(chǎn)品,再從所抽取的40件產(chǎn)品中,抽取2件尺寸x∈[12,15]的產(chǎn)品,記ξ為這2件產(chǎn)品中尺寸x∈[14,15]的產(chǎn)品個數(shù),求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(Ⅱ)將甲設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝出售時,需要進(jìn)行檢驗.已知每箱有100件產(chǎn)品,每件產(chǎn)品的檢驗費用為50元.檢驗規(guī)定:若檢驗出三級品需更換為一級或二級品;若不檢驗,讓三級品進(jìn)入買家,廠家需向買家每件支付200元補償.現(xiàn)從一箱產(chǎn)品中隨機抽檢了10件,結(jié)果發(fā)現(xiàn)有1件三級品.若將甲設(shè)備的樣本頻率作為總體的慨率,以廠家支付費用作為決策依據(jù),問是否對該箱中剩余產(chǎn)品進(jìn)行一一檢驗?請說明理由;
(Ⅲ)為加大升級力度,廠家需增購設(shè)備.已知這種產(chǎn)品的利潤如下:一級品的利潤為500元/件;二級品的利潤為400元/件;三級品的利潤為200元/件.乙種設(shè)備產(chǎn)品中一、二、三級品的概率分別是,,.若將甲設(shè)備的樣本頻率作為總體的概率,以廠家的利潤作為決策依據(jù).應(yīng)選購哪種設(shè)備?請說明理由.
【答案】(Ⅰ)分布列見解析,;(Ⅱ)不對剩余產(chǎn)品進(jìn)行逐一檢驗,理由見解析;(Ⅲ)應(yīng)選購乙設(shè)備,理由見解析.
【解析】
(I)利用頻率分布直方圖中的頻率(概率)求出尺寸在的產(chǎn)品件數(shù),及在的產(chǎn)品件數(shù),得ξ的可能取值為0,1,2,分別計算出概率得概率分布列,由分布列計算出期望;
(II)三級品的概率為(0.1+0.075)×1=0.175,計算對剩余產(chǎn)品逐一檢驗和對剩余產(chǎn)品不檢驗需支付的費用,比較后可得;
(III)利用頻率(概率)計算出兩種方案的利潤期望,比較可得.
(I)抽取的40件產(chǎn)品中,產(chǎn)品尺寸x∈[12,15]的件數(shù)為:40×[(0.2+0.175+0.075)×1]=18,
其中x∈[14,15]的產(chǎn)品件數(shù)為40×(0.075×1)=3,
∴ξ的可能取值為0,1,2,
∴P(ξ=0),P(ξ=1),P(ξ=2),
∴ξ的分布列為:
∴Eξ=012.
(II)三級品的概率為(0.1+0.075)×1=0.175,
若對剩余產(chǎn)品逐一檢驗,則廠家需支付費用50×100=5000;
若對剩余產(chǎn)品不檢驗,則廠家需支付費用50×10+200×90×0.175=3650,
∵5000>3650,
故不對剩余產(chǎn)品進(jìn)行逐一檢驗.
(III)設(shè)甲設(shè)備生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤為y1,乙設(shè)備生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤為y2,
則E(y1)=500×(0.3+0.2)+400×(0.150+0.175)+200×0.175=415,
E(y2)=500400200420.
∵E(y1)<E(y2).
∴應(yīng)選購乙設(shè)備.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣sinx+ax(a>0).
(1)若a=1,求證:當(dāng)x∈(1,)時,f(x)<2x﹣1;
(2)若f(x)在(0,2π)上有且僅有1個極值點,求a的取值范圍.
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【題目】如圖,用四種不同顏色給圖中的A,B,C,D,E,F六個點涂色,要求每個點涂一種顏色,且圖中每條線段的兩個端點涂不同顏色,則不同的涂色方法用
A.288種B.264種C.240種D.168種
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【題目】在直角坐標(biāo)系中中,曲線C的參數(shù)方程(為參數(shù),).以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)設(shè)P是曲線C上的一個動點,當(dāng)時,求點P到直線的距離的最大值;
(2)若曲線C上所有的點均在直線的右下方,求t的取值范圍.
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【題目】三棱錐中,,△為等邊三角形,二面角的余弦值為,當(dāng)三棱錐的體積最大時,其外接球的表面積為.則三棱錐體積的最大值為( )
A.B.C.D.
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【題目】三棱錐中,,△為等邊三角形,二面角的余弦值為,當(dāng)三棱錐的體積最大時,其外接球的表面積為.則三棱錐體積的最大值為( )
A.B.C.D.
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【題目】關(guān)于函數(shù),有下述四個結(jié)論:
①是周期為的函數(shù);
②在單調(diào)遞增;
③在上有三個零點;
④的值域是.
其中所有正確結(jié)論的編號是( )
A.②③B.①③C.①③④D.①②④
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【題目】如圖,在中,,,,E,F分別為,的中點,是由繞直線旋轉(zhuǎn)得到,連結(jié),,.
(1)證明:平面;
(2)若與平面所成的角為60°,求二面角的余弦值.
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