Question

對于定義域和值域均為[0，1]的函數(shù)f（x），設(shè)f₁（x）=f（x），f₂（x）=f（f₁（x）），…，f_n（x）=f（f_n-1（x））（n∈N^*），若x_o滿足f_n（x₀）=x₀，則x_o稱為f（x）的n階周期點(diǎn)．
（1）若f（x）=2x（0≤x≤1），則f（x）的2階周期點(diǎn)的值為

 

；
（2）若f（x）=

2x，x∈[0， 1 2 ] 2-2x，x∈( 1 2 ，1]

，則f（x）的2階周期點(diǎn)的個(gè)數(shù)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）若f（x）=2x，則f₂（x）=4x，令f₂（x₀）=x₀，可得f（x）的2階周期點(diǎn)的值；
（2）根據(jù)f（x）=

2x，x∈[0， 1 2 ] 2-2x，x∈( 1 2 ，1]

，分0≤2x≤

1

2

，即0≤x≤

1

4

時(shí)，當(dāng)

1

2

＜2x≤1，即

1

4

＜x≤

1

2

時(shí)，

1

2

＜x≤1時(shí)，討論f（x）的2階周期點(diǎn)的個(gè)數(shù)，最后綜合討論結(jié)果可得答案．

解答： 解：（1）∵f₂（x）=f（f₁（x））=f（2x）=4x，
令f₂（x）=x，
解得：x=0．
（2）當(dāng)0≤2x≤

1

2

，即0≤x≤

1

4

時(shí)，
f₂（x）=f（f₁（x））=f（2x）=4x，
令f₂（x）=x，解得x=0，
當(dāng)

1

2

＜2x≤1，即

1

4

＜x≤

1

2

時(shí)，
f₂（x）=f（f₁（x））=f（2x）=2-2（2x）=2-4x，
令f₂（x）=x，解得x=

2

5

，
故0≤x≤

1

2

時(shí)，f（x）的2階周期點(diǎn)有兩個(gè)，
同理

1

2

＜x≤1時(shí)，f（x）的2階周期點(diǎn)也有兩個(gè)，
故f（x）的2階周期點(diǎn)共有4個(gè)．
故答案為：0，4

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是分段函數(shù)，其中正確理解f（x）的n階周期點(diǎn)的定義，是解答的關(guān)鍵．