Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，BC⊥AB，AD=3，AB=4，BC=，點E在線段AB的延長線上．曲線段DE上任一點到A、B兩點的距離之和都相等．
（1）建立適當的直角坐標系，求曲線段DE的方程；
（2）試問：過點C能否作一條直線l與曲線段DE相交于兩點M、N，使得線段MN以C為中點？若能，則求直線l的方程；
若不能，則說明理由．

Answer 1

解：（1）以直線AB為x軸，線段AB的中點為原點，
建立如圖所示的平面直角坐標系，
則．…（1分）
∵AD+BD=3+5=8＞AB，
∴依題意，曲線段DE是以A、B為左、右焦點，
長軸長為8的橢圓的一部分． （3分）
故曲線段DE的方程為． （6分）
（2）設這樣的直線l存在，
由直線x=2與曲線段DE只有一個交點（0，3），
知直線l存在斜率，設直線l的方程為，
即 ，
將其代入，
得①（9分）
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則由，知x₁+x₂=4，
∴，
解得．（12分）
當時，方程①化為：x²-4x=0，
解得x₁=0，x₂=4．
即，適合條件．
故直線l存在，其方程為，
即．（14分）
分析：（1）以直線AB為x軸，線段AB的中點為原點，建立平面直角坐標系，由AD+BD=3+5=8＞AB，知曲線段DE是以A、B為左、右焦點，長軸長為8的橢圓的一部分．由此能求出曲線段DE的方程．
（2）設這樣的直線l存在，由直線x=2與曲線段DE只有一個交點（0，3），設直線l的方程為 ，將其代入得．由此能求出直線l的方程．
點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．