Question

【題目】如圖1，梯形中， 為中點(diǎn).將沿翻折到的位置，如圖2.

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）設(shè)分別為和的中點(diǎn)，試比較三棱錐和三棱錐（圖中未畫(huà)出）的體積大小，并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ） ；（Ⅲ）體積相等.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意，利用線面垂直的判定定理，證得平面，再利用面面垂直的判定定理，即可證得，所以平面 平面.

（Ⅱ）根據(jù)題設(shè)中的垂直關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面和平面的各自一個(gè)法向量，利用向量所成的角，即可求解線面角的正弦值.

（Ⅲ）方法一：先證得平面，可得點(diǎn)到平面的距離相等，即可得到三棱錐和同底等高，所以體積相等；

方法二：取中點(diǎn)，連接， ， ，分別得到， ，進(jìn)而證得平面，即可點(diǎn)、到平面的距離相等，所以三棱錐和同底等高，所以體積相等；

試題解析：

（Ⅰ）證明：因?yàn)?/span>， ， ， ， 平面

所以平面因?yàn)?/span>平面，所以平面 平面

（Ⅱ）解：在平面內(nèi)作，

由平面，建系如圖.

則， ， ， ， . ， ， ，

設(shè)平面的法向量為，則

，即，令得， ，

所以是平面的一個(gè)方向量.

所以與平面所成角的正弦值為.

（Ⅲ）解：三棱錐和三棱錐的體積相等.

理由如:

方法一：由， ，知，則

因?yàn)?/span>平面，所以平面.

故點(diǎn)、到平面的距離相等，有三棱錐和同底等高，所以體積相等.

方法二：如圖，取中點(diǎn)，連接， ， .

因?yàn)樵?/span>中， ， 分別是， 的中點(diǎn)，所以

因?yàn)樵谡叫?/span>中， ， 分別是， 的中點(diǎn)，所以

因?yàn)?/span>， ， 平面， ， 平面

所以平面 平面

因?yàn)?/span>平面，所以平面

故點(diǎn)、到平面的距離相等，有三棱錐和同底等高，所以體積相等.