Question

【題目】函數．

（1）若函數在上為增函數，求的取值范圍；

（2）若函數在上不單調時；

①記在上的最大值、最小值分別為，求；

②設，若，對恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）①②

【解析】

試題分析：（1）先轉化：分段函數在上為增函數，各段都為增函數且在結合點處（本題連續(xù)，不需討論）也單調遞增，因此只需在為增函數，所以（2）①先根據函數在上不單調，得，而此時函數為先增再減再增，即在上是增函數，在上是減函數，在上是增函數，因此根據定義區(qū)間與單調區(qū)間位置關系分類討論，確定最值，最后列出函數解析式②先轉化不等式恒成立：由得，所以，對恒成立，等價于在上的值域是的子集，由①中最值情況可得滿足條件：當時，，當時，，當時，，再研究對應函數的取值范圍，最后求并集得結果

試題解析：由已知得，．．．．．．．．．．．．．1分

令，則，所以在上為增函數；．．．．．．．．．2 分

令，則，

令，得，所以在和上是增函數，

在上為減函數．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 3分

（1）因為在上是增函數，所以在為增函數，所以．．．．．．．．．．．．4分

（2）因為函數在上不單調，所以，

①當時，在上是增函數，在上是減函數，在上是增函數，

所以．．．．．．．．．．．．5分

當，即時，，

；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

當，即時， ，

；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

當時，在上是減函數，

所以，故，

綜上得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

②對恒成立，即在上的值域是的子集，

當時，，即，所以，

令，易得在上是增函數，

則，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

當時，，即，所以，

令，易得在上是增函數，

則，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分

當時，，即，即，

所以，所以，綜上得．．．．．．．．．．．．．12分