在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且（acosB+bcosA）cos2C=c•cosC．
（1）求角C；
（2）若b=2a，△ABC的面積S=
3
2
sinA•sinB，求sinA及邊c的值．
考點(diǎn)：正弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,余弦定理
專題：三角函數(shù)的求值
分析：（1）已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，根據(jù)sinC不為0求出cosC的值，即可確定出出C的度數(shù)；
（2）利用余弦定理列出關(guān)系式，將b=2a，cosC的值代入得到c=
7
a，利用正弦定理化簡(jiǎn)，將sinC的值代入求出sinA的值，利用三角形面積公式列出關(guān)系式，代入S=
3
2
sinA•sinB，變形得到
ab
sinAsinB
=
3
sinC
，再利用正弦定理列出關(guān)系式，變形即可求出c的值．
解答： 解：（1）已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)得：（sinAcosB+sinBcosA）cos2C=sinCcosC，
整理得：sin（A+B）cos2C=sinCcosC，即sinCcos2C=sinCcosC，
∵sinC≠0，
∴cos2C=cosC，即2cos2C-cosC-1=0，
整理得：（2cosC+1）（cosC-1）=0，
∴cosC=-
1
2
或cosC=1，
又0＜C＜π，
∴cosC=-
1
2
，
∴C=
2π
3
；
（2）∵b=2a，cosC=-
1
2
，
∴由余弦定理得：c2=a2+（2a）2-2a•（2a）•（-
1
2
）=7a2，
∴c=
7
a，
又由正弦定理得：sinC=
7
sinA，
∵sinC=
3
2
，
∴sinA=
21
14
，
∵S=
1
2
absinC，S=
3
2
sinA•sinB，
∴
1
2
absinC=
3
2
sinA•sinB，即
ab
sinAsinB
=
3
sinC
，
∵
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
，
∴（
c
sinC
）2=
a
sinA
•
b
sinB
=
ab
sinAsinB
=
3
sinC
=
3
3
2
=2，
則c=
2
sin
2π
3
=
6
2
．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，以及三角函數(shù)的恒等變形，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=1nx+x-
a
x
(a≥-2)，g(x)=ex-x，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)f（x）≥3恒成立．
（Ⅰ）求g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求實(shí)數(shù)a的所有可能取值的集合；
（Ⅲ）求證：f（x）+g（x）＞4．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對(duì)于定義在D上的函數(shù)y=f（x），若存在x0∈D，對(duì)任意的x∈D，都有f（x）≥f（x0）或者f（x）≤f（x0），則稱f（x0）為函數(shù)f（x）在區(qū)間D上的“下確界”或“上確界”．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）=ln（2-x）+x2在[0，1]上的“下確界”；
（Ⅱ）若把“上確界”減去“下確界”的差稱為函數(shù)f（x）在D上的“極差M”，試求函數(shù)F（x）=x|x-2a|+3（a＞0）在[1，2]上的“極差M”；
（Ⅲ）類比函數(shù)F（x）的“極差M”的概念，請(qǐng)求出G（x，y）=（1-x）（1-y）+
x
1+y
+
y
1+x
在D={（x，y）|x，y∈[0，1]}上的“極差M”．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）在R奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x2-2x．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若f（x）在閉區(qū)間[
1
2
，m]最大值為-
3
4
，最小值為-1，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
2
-
2x
4x+1
．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）判斷并證明函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

有三種卡片分別寫有數(shù)字1，10和100．設(shè)m為正整數(shù)，從上述三種卡片中選取若干張，使得這些卡片上的數(shù)字之和為m．考慮不同的選法種數(shù)，例如當(dāng)m=11時(shí)，有如下兩種選法：“一張卡片寫有1，另一張卡片寫有10”或“11張寫有1的卡片”，則選法種數(shù)為2．
（1）若m=100，直接寫出選法種數(shù)；
（2）設(shè)n為正整數(shù)，記所選卡片的數(shù)字和為100n的選法種數(shù)為an．當(dāng)n≥2時(shí)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2cosx•sin（
π
6
+x）（x∈R）
（1）求f（x）在[0，π]上的單調(diào)增區(qū)間；
（2）△ABC中，f（C）=1，且邊長(zhǎng)c=2，求△ABC面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1-
4
x
）4展開式中
1
x
的系數(shù)是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正數(shù)x，y滿足x+2y=1，則
x+8y
xy
的最小值為
 
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案