如果四面體的四條高交于一點(diǎn)，那么這個(gè)四面體為垂心四面體，這一點(diǎn)稱為四面體的垂心．關(guān)于垂心四面體下列命題正確的有
 
．（寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)）
①正四面體是垂心四面體；
②四面體的垂心就是四面體內(nèi)切球的球心；
③垂心四面體對(duì)棱互相垂直；
④垂心四面體的一條高通過(guò)底面的垂心；
⑤垂心四面體對(duì)棱的平方和相等．
考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,棱柱的結(jié)構(gòu)特征
專題：新定義,空間位置關(guān)系與距離
分析：由正四面體的定義和垂心四面體，即可判斷①；垂心到四個(gè)面的距離相等即為正四面體，即可判斷②；由線面垂直的判定和性質(zhì)，即可判斷③；設(shè)A在平面BCD上的射影為F，由③和垂心的定義，即可判斷④；設(shè)BF交CD于E，由勾股定理，即可判斷⑤．
解答： 解：①正四面體是四個(gè)面均為等邊三角形的三棱錐，對(duì)照定義顯然是垂心四面體，故①對(duì)；
②四面體的垂心到四個(gè)面的距離不一定相等，若相等即為正四面體，故②錯(cuò)；
③ABCD是垂心四面體，設(shè)垂心為H，則AH，BH均與CD垂直，則CD垂直于平面ABH，從而AB⊥CD，同理，AC⊥BD，AD⊥BC，
故③對(duì)；
④設(shè)A在平面BCD上的射影為F，因AB⊥CD，所以AB的射影
BF⊥CD，同理CF⊥BD，即F為△BCD的垂心．故④對(duì)；
⑤設(shè)BF交CD于E，則AC2-AD2=CF2-DF2=CE2-DE2=BC2-BD2，
即AC2+BD2=AD2+BC2，故⑤對(duì)．
故答案為：①③④⑤．
點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義及理解，考查正四面體的概念，同時(shí)考查直線與平面垂直的判定和性質(zhì)及運(yùn)用，考查勾股定理的運(yùn)用，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若不等式x2+2x+a＞0對(duì)任意x∈[1，+∞）恒成立，則a的取值范圍為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

用符號(hào)[a）表示超過(guò)a的最小整數(shù)，如[π）=4，[-1.08）=-1，則有下列命題：
①函數(shù)f（x）=[x）-x，則f（x）定義域?yàn)镽，值域?yàn)椋?，1]；
②如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，n∈N*，那么數(shù)列{[an）}也是等差數(shù)列；
③若x，y∈{0，
5
2
，3，1，5，
2
3
，-
2
3
，7}，則滿足方程[x）•[y）=4的解有五組；
④已知向量
a
=（x，y），
b
=（[x），[y）），則＜
a
，
b
＞不可能為鈍角．
其中，所有正確命題的序號(hào)應(yīng)是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若命題“?x∈[1，3]，x2-ax+4≥0”是真命題，則a的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

數(shù)列{an}滿足a1=
2
，an+1=
1+an
1-an
，則{an}的前10項(xiàng)的和等于
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

角α是△ABC的一個(gè)內(nèi)角，且sinα+cosα=-
1
5
，則tanα=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=（0，2，1），
b
=（0，-4，-2），則向量
a
，
b
的關(guān)系為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若1、a、b、c、9成等比數(shù)列，則b=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

有下列四個(gè)命題
①“若b=3，則b2=9”的逆命題；   
②“全等三角形的面積相等”的否命題；
③“若c≤1，則x2+2x+c=0有實(shí)根”；
④“若A∪B=A，則A⊆B”的逆否命題．
其中真命題的個(gè)數(shù)是（　�。�
A、1B、2C、3D、4

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