Question

【題目】圖1是由正方形，直角梯形，三角形組成的一個(gè)平面圖形，其中，，將其沿，折起使得與重合，連接，如圖2.

（1）證明：圖2中的，，，四點(diǎn)共面，且平面平面；

（2）求圖2中的二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；

（2）.

【解析】

（1）根據(jù)平行的傳遞性，可證明四點(diǎn)共面，要證明面面垂直，可轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，即證明平面，轉(zhuǎn)化為證明，；

（2）過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，則，，由（1）可知點(diǎn)為中點(diǎn)，可以，，所在直線分別為軸、軸和軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別求兩個(gè)平面的法向量，求二面角的大小轉(zhuǎn)化為求解.

（1）證明：因?yàn)檎�方�?/span>中，，梯形中，，所以，

所以，，，四點(diǎn)共面：

因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，，所以平面，

因?yàn)?/span>平面，所以，

在直角梯形中，，，，可求得，

同理在直角梯形中，可求得，又因?yàn)?/span>，

則，由勾股定理逆定理可知，

因?yàn)?/span>，，所以平面，

因?yàn)?/span>平面，故平面平面，

即平面平面.

（2）解：過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，則，，

由（1）可知點(diǎn)為中點(diǎn)，且，則，

故可以，，所在直線分別為軸、軸和軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則各點(diǎn)坐標(biāo)依次為：，，，，，，

所以，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則

可取，則，

又，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則

可取，則，

所以，

結(jié)合圖形可知二面角的大小為.