【題目】已知橢圓的焦距為2，過點.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)橢圓的右焦點為F，定點，過點F且斜率不為零的直線l與橢圓交于A，B兩點，以線段AP為直徑的圓與直線的另一個交點為Q，證明：直線BQ恒過一定點，并求出該定點的坐標(biāo).

【答案】（1）；（2）證明見解析，.

【解析】

（1）根據(jù)題意列方程組，求解，，即可.

（2）設(shè)，因為直線的斜率不為零，令的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立，得到，，由題意可知，，則，確定的方程，由橢圓的對稱性，則定點必在軸上，所以令，求解，即可.

（1）由題知 ， 解得，，

所以橢圓的方程為；

（2）設(shè)，因為直線的斜率不為零，令的方程為：，

由 得，

則，，

因為以為直徑的圓與直線的另一個交點為,所以，則，

則，故的方程為： ，

由橢圓的對稱性，則定點必在軸上，所以令，則

，

而，，，

所以，

故直線恒過定點，且定點為.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知二次函數(shù)和.

（1）為偶函數(shù)，試判斷的奇偶性；

（2）若方程有兩個不相等的實根，當(dāng)時判斷在上的單調(diào)性；

（3）當(dāng)時，問是否存在x的值，使?jié)M足且的任意實數(shù)a，不等式恒成立？并說明理由.

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【題目】德陽中學(xué)數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)共開設(shè)有初等代數(shù)、初等幾何、初等數(shù)論和微積分初步共四門課程，要求初等代數(shù)、初等幾何都要合格，且初等數(shù)論和微積分初步至少有一門合格，則能取得參加數(shù)學(xué)競賽復(fù)賽的資格，現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學(xué)報名參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)，每一位同學(xué)對這四門課程考試是否合格相互獨立，其合格的概率均相同，（見下表），且每一門課程是否合格相互獨立，

課 程

初等代數(shù)

初等幾何

初等數(shù)論

微積分初步

合格的概率





（1）求甲同學(xué)取得參加數(shù)學(xué)競賽復(fù)賽的資格的概率；

（2）記表示三位同學(xué)中取得參加數(shù)學(xué)競賽復(fù)賽的資格的人數(shù)，求的分布列及期望．

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【題目】已知函數(shù)f（x）.

（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若曲線y=f（x）與直線y＝b（b∈R）有3個交點，求實數(shù)b的取值范圍；

（3）過點P（﹣1，0）可作幾條直線與曲線y=f（x）相切？請說明理由.

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【題目】圖1是由正方形，直角梯形，三角形組成的一個平面圖形，其中，，將其沿，折起使得與重合，連接，如圖2.

（1）證明：圖2中的，，，四點共面，且平面平面；

（2）求圖2中的二面角的大小.

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【題目】已知橢圓的長軸是短軸的兩倍，以短軸一個頂點和長軸一個頂點為端點的線段作直徑的圓的周長等于，直線l與橢圓C交于兩點，其中直線l不過原點.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)直線的斜率分別為，其中且.記的面積為S.分別以為直徑的圓的面積依次為，求的最小值.

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【題目】“劍橋?qū)W派”創(chuàng)始人之一數(shù)學(xué)家哈代說過：“數(shù)學(xué)家的造型，同畫家和詩人一樣，也應(yīng)當(dāng)是美麗的”；古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯創(chuàng)造的“黃金分割”給我們的生活處處帶來美；我國古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)造了優(yōu)美“弦圖”.“弦圖”是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為，則等于（ ）

A.B.C.D.

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【題目】已知中心在原點的橢圓和拋物線有相同的焦點，橢圓過點，拋物線的頂點為原點．

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設(shè)點P為拋物線準(zhǔn)線上的任意一點，過點P作拋物線的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點．

設(shè)直線PA，PB的斜率分別為，，求證：為定值；

若直線AB交橢圓于C，D兩點，，分別是，的面積，試問：是否有最小值？若有，求出最小值；若沒有，請說明理由．

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