Question

在研究PM_2.5（霾的主要成分）形成原因時(shí)，某研究人員研究了PM_2.5與燃燒排放的CO₂，NO₂，CO，O₃等物質(zhì)的相關(guān)關(guān)系，如圖是PM_2.5與CO，O₃相關(guān)性的散點(diǎn)圖，
（Ⅰ）根據(jù)三點(diǎn)圖，請(qǐng)你就CO，O₃對(duì)PM_2.5的影響關(guān)系作出初步評(píng)價(jià)；
（Ⅱ）以100μg/m³為單位，在上述左圖中取三個(gè)點(diǎn)，如下表所示，

PM2.5（x）	1	2	4
CO（y）	0.5	1	1.5

求

y

關(guān)于

x

的回歸方程，并估計(jì)當(dāng)CO的排放量為200μg/m³時(shí)，PM_2.5的值（用最小二乘法求回歸方程的系數(shù)是（b=

n i-1 xi•yi-n . x • . y

n i-1 xi2-n . x 2

，a=

.

y

-b

.

x

）
（Ⅲ）霧霾對(duì)交通影響較大，某市交通部門發(fā)現(xiàn)，在一個(gè)月內(nèi)，當(dāng)CO排放量（單位：μg/m³）分別是60，120，180時(shí)，某路口的交通流量（單位：萬(wàn)輛）依次是800，600，200，在一個(gè)月內(nèi)，CO排放量是60，120，180的概率依次是p，q，r，且ρ≤

1

3

，3ρ≤4r，求該路口一個(gè)月的交通流量期望值的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：線性回歸方程

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（I）根據(jù)左圖的散點(diǎn)分布在一個(gè)條形區(qū)域內(nèi)，可得CO與PM_2.5具有正相關(guān)關(guān)系，而右圖散點(diǎn)之間分布較散不具有較強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系；
（II）根據(jù)已知表中數(shù)據(jù)計(jì)算出

.

x

，

.

y

，

3

i=1

x

2 i

，

3

i=1

x

i

yi，求出回歸直線方程，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入回歸直線方程可估計(jì)當(dāng)CO的排放量為200μg/m³時(shí)，PM_2.5的值；
（III）p，q，r滿足約束條件

p+q+r=1 p≤ 1 3 3q≤4r

，目標(biāo)函數(shù)E（X）=200（3p+2q）+200，進(jìn)而可得交通流量期望值的最大值．

解答： 解：（I）由已知中的散點(diǎn)圖，可得CO與PM_2.5具有正相關(guān)關(guān)系，O₃與PM_2.5不存在相關(guān)關(guān)系；
（II）∵

.

x

=

7

3

，

.

y

=1，

3

i=1

x

2 i

=21，

3

i=1

x

i

yi=8.5，
∴b=

3 i=1 x   i yi-3 . x • . y

3 i=1 x 2 i -3 . x 2

=

8.5-3× 7 3 ×1

21-3×( 7 3 )2

=

9

28

，
a=

.

y

-b

.

x

=

1

4

，
∴

y

關(guān)于

x

的回歸方程為

y

=

9

28

x+

1

4

，
當(dāng)CO的排放量為200μg/m³時(shí)，PM_2.5的值

9

28

x+

1

4

=2，
解得：

x

=

49

9

，即PM_2.5的值為

49

9

×100≈544μg/m³；
（III）設(shè)交通流量是X，則X可以取800，600，200，
則X的分布列如下表所示：

X	800	600	200
P	p	q	r

∵

p+q+r=1 p≤ 1 3 3q≤4r

，
∴

4p+7q≤4 0＜p≤ 1 3 q＞0

，
交通流量X的期望值E（X）=800p+600q+200r=200（3p+2q）+200，
當(dāng)p=

1

3

且q=

8

21

時(shí)，交通流量X的期望值E（X）取最大值200（3×

1

3

+2×

8

21

）+200≈552.38萬(wàn)輛，
即交通流量最大為552.38萬(wàn)輛．

點(diǎn)評(píng)：統(tǒng)計(jì)也是高考新增的考點(diǎn)，回歸直線方程的求法，又是統(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，其系數(shù)公式及性質(zhì)要求大家要熟練掌握并應(yīng)用．