Question

在正數(shù)數(shù)列{a_n}（n∈N^*）中，S_n為{a_n}的前n項(xiàng)和，若點(diǎn)（a_n，S_n）在函數(shù)y=

c2-x

c-1

的圖象上，其中c為正常數(shù)，且c≠1．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）是否存在正整數(shù)M，使得當(dāng)n＞M時(shí)，a₁•a₃•a₅…a_2n-1＞a₁₀₁恒成立？若存在，求出使結(jié)論成立的c的取值范圍和相應(yīng)的M的最小值．
（Ⅲ）若存在一個(gè)等差數(shù)列{b_n}，對(duì)任意n∈N^*，都有b₁a_n+b₂a_n-1+b₃a_n-2+…+b_n-1a₂+b_na₁=3n-

5

3

n-1成立，求{b_n}的通項(xiàng)公式及c的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由點(diǎn)（a_n，S_n）在函數(shù)圖象上，代入函數(shù)表達(dá)式可得到a_n與S_n的關(guān)系式，消s_n可求a_n．
（Ⅱ）考查了恒成立條件的轉(zhuǎn)化及指數(shù)運(yùn)算法則；同時(shí)也考查了分類討論的思想．
（Ⅲ）考查了錯(cuò)位相減法的變形應(yīng)用及恒成立問(wèn)題的常規(guī)解決方法．

解答： 解：（Ⅰ）sn=

c2-an

c-1

，n≥2時(shí)，sn-sn-1=

c2-an

c-1

-

c2-an-1

c-1

an=

an-1-an

c-1

，(c-1)an=an-1-an，can=an-1，

an

an-1

=

1

c

∴{a_n}是等比數(shù)列．
將（a₁，S₁）代入y=

c2-x

c-1

得a₁=c，
故an=(

1

c

)n-2．
（Ⅱ）由a₁•a₃•a₅…a_2n-1＞a_101得，c•c-1…(

1

c

)2n-3＞(

1

c

)99，
∴(

1

c

)n(n-2)＞(

1

c

)99．
若

1

c

＞1，即0＜c＜1時(shí)，n(n-2)＞99，
解得：n＞11或n＜-9（舍去）．
若

1

c

＜1，即c＞1時(shí)，n(n-2)＜99，
解得：-9＜n＜11，
不符合n＞M時(shí)，a₁•a₃•a₅…a_2n-1＞a₁₀₁恒成立，故舍去．
c的取值范圍是（0，1），相應(yīng)的M的最小值為11．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，an=c2-n，由{b_n}為等差數(shù)列，設(shè)b_n=b₁+（n-1）d．
b₁a_n+b₂a_n-1+…+b_n-1a₂+b_na₁=3n-

5

3

n-1（n∈N^*），（1）
當(dāng)n=1時(shí)，b1c=

1

3

．（2）
當(dāng)n≥2時(shí)，b₁a_n-1+b₂a_n-2+…+b_n-2a₂+b_n-1a₁=3n-1-

5

3

(n-1)-2，（3）
（1）-（3）得b₁a_n+d（a_n-1+a_n-2+…+a₁）=3ⁿ-3^n-1-

5

3

，
即（b1c-

c2d

c-1

）c^1-n+

c2d

c-1

=2×3n-1-

5

3

，（4）
∵（4）式對(duì)一切n（n≥2）恒成立，則必有

1 c =3 b1c- c2d c-1 =2，(5) c2d c-1 =- 5 3

解（2）（5）得

c= 1 3 b1=1 d=10

故bbn=10n-9，c=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題以數(shù)列為載體，不僅考查了數(shù)列的求和方法與求通項(xiàng)公式的方法，而且考查了恒成立問(wèn)題的處理方法；綜合性比較強(qiáng)．化簡(jiǎn)很繁瑣，學(xué)生可通過(guò)多練習(xí)掌握．