Question

已知a²+b²≤1，則關(guān)于x的方程x²-2ax+b²=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根的概率為（　�。�

• A、

  1

  16

• B、

  1

  8

• C、

  1

  4

• D、

  1

  2

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型

專題：計(jì)算題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：以a為橫坐標(biāo)、b為縱坐標(biāo)建立直角坐標(biāo)系，可得滿足a²+b²≤1的點(diǎn)（a，b）在單位圓及其內(nèi)部；找出方程x²-2ax+b²=0有實(shí)數(shù)解對應(yīng)的可行域面積的大小，即可求出概率．

解答： 解：以a為橫坐標(biāo)、b為縱坐標(biāo)建立直角坐標(biāo)系，
∵實(shí)數(shù)a，b滿足a²+b²≤1，
∴可得所有的點(diǎn)（a，b）在以O(shè)為圓心，半徑為1的圓及其內(nèi)部，即單位圓及其內(nèi)部，
如圖所示，面積為S=π×1²=π
x²-2ax+b²=0有實(shí)數(shù)解的充要條件是△=4a²-4b²≥0．
即

a-b≥0 a+b≥0

或

a-b≤0  a+b≤0

．
如圖陰影所示，S′=

π

2

．
∴所求概率為：

1

2

．
故選：D．

點(diǎn)評：幾何概型的概率估算公式中的“幾何度量”，可以為線段長度、含面積、體積等，而且這個(gè)“幾何度量”只與“大小”有關(guān)，而與形狀和位置無關(guān)．