【題目】在四棱錐A﹣BCDE中,底面BCDE為平行四邊形,平面ABE⊥平面BCDE,AB=AE,DB=DE,∠BAE=∠BDE=90°
(1)求異面直線AB與DE所成角的大;
(2)求二面角B﹣AE﹣C的余弦值.
【答案】
(1)解:設(shè)BE的中點(diǎn)為O,連結(jié)AO,DO,
∵AB=AE,BO=OE,∴AO⊥BE,同理DO⊥BE,
又∵平面ABE⊥平面BCDE,
平面ABE∩平面BCDE=BE,
∴AO⊥平面BCDE,
由題意,BE2=2AB2=2DB2,
∴AB=BD=DE=AE,
設(shè)AB=1,以B為原點(diǎn),以BC為x軸,BD為y軸,
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則B(0,0,0),C(1,0,0),D(0,1,0),
E(﹣1,1,0),A(﹣ , , ),
則 =( ), =(﹣1,0,0),
∵cos< , >= = =﹣ ,
∴ 與 的夾角為120°,
異面直線AB與DE所成角為60°.
(2)解:設(shè)平面ACE的法向量 =(x,y,z),
=( ), =(﹣1,1,0),
則 ,取x=1,得 =(1,1,0),
設(shè)平面ABE的法向量為 =(a,b,c),
=( ), ,
則 ,取a=1,得 =(1,2, ),
設(shè)二面角B﹣AE﹣C的平面角為θ,
cosθ=|cos< >|= = .
∴二面角B﹣AE﹣C的余弦值為 .
【解析】(1)設(shè)BE的中點(diǎn)為O,連結(jié)AO,DO,由已知得AO⊥BE,DO⊥BE,從而AO⊥平面BCDE,設(shè)AB=1,以B為原點(diǎn),以BC為x軸,BD為y軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出異面直線AB與DE所成角為60°.(2)求出平面ACE的法向量和平面ABE的法向量,由此利用向量法能求出二面角B﹣AE﹣C的余弦值.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了異面直線及其所成的角的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握異面直線所成角的求法:1、平移法:在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點(diǎn),作另一條的平行線;2、補(bǔ)形法:把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體,如正方體、平行六面體、長(zhǎng)方體等,其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E分別為AB,BC的中點(diǎn),點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1 . 求證:
(1)直線DE∥平面A1C1F;
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知三棱柱中, ,側(cè)面底面, 是的中點(diǎn), .
(Ⅰ)求證: 面;
(Ⅱ)求直線與平面所成線面角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知A、B分別在射線CM、CN(不含端點(diǎn)C)上運(yùn)動(dòng),∠MCN= π,在△ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c.
(Ⅰ)若a、b、c依次成等差數(shù)列,且公差為2.求c的值;
(Ⅱ)若c= ,∠ABC=θ,試用θ表示△ABC的周長(zhǎng),并求周長(zhǎng)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是(填序號(hào))
①命題“x1 , x2∈M,x1≠x2 , 有[f(x1)﹣f(x2)](x2﹣x1)>0”的否定是“x1 , x2M,x1≠x2 , 有[f(x1)﹣f(x2)](x2﹣x1)≤0”;
②若一個(gè)命題的逆命題為真命題,則它的否命題也一定為真命題;
③已知p:x2+2x﹣3>0, ,若命題(q)∧p為真命題,則x的取值范圍是(﹣∞,﹣3)∪(1,2)∪[3,+∞);
④“x≠3”是“|x|≠3”成立的充分條件.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】第12界全運(yùn)會(huì)于2013年8月31日在遼寧沈陽(yáng)順利舉行,組委會(huì)在沈陽(yáng)某大學(xué)招募了12名男志愿者和18名女志愿者,將這30名志愿者的身高編成如圖所示的莖葉圖(單位: ),身高在175以上(包括175)定義為“高個(gè)子”,身高在175以下(不包括175)定義為“非高個(gè)子”.
(1)如果用分層抽樣的方法從“高個(gè)子”和“非高個(gè)子”中共抽取5人,再?gòu)倪@5人中選2人,求至少有一人是“高個(gè)子”的概率?
(2)若從身高180以上(包括180)的志愿者中選出男、女各一人,求這兩人身高相差5以上的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)的離心率為 ,橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4.
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知直線l:y=kx+ 與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),是否存在實(shí)數(shù)k使得以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O?若存在,求出k的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我國(guó)上是世界嚴(yán)重缺水的國(guó)家,城市缺水問(wèn)題較為突出,某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水,計(jì)劃在本市試行居民生活用水定額管理,即確定一個(gè)合理的居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)(噸),用水量不超過(guò)的部分按平價(jià)收費(fèi),超過(guò)的部分按議價(jià)收費(fèi),為了了解全市民月用水量的分布情況,通過(guò)抽樣,獲得了100位居民某年的月用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照, ,…, 分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)求直方圖中 的值;
(Ⅱ)已知該市有80萬(wàn)居民,估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù),并說(shuō)明理由;
(Ⅲ)若該市政府希望使的居民每月的用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)(噸),估計(jì)的值,并說(shuō)明理由;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列結(jié)論正確的是( )
A.當(dāng)x>0且x≠1時(shí),lgx ≥2
B.6 的最大值是2
C. 的最小值是2
D.當(dāng)x∈(0,π)時(shí),sinx ≥5
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