Question

【題目】定義變換將平面內(nèi)的點(diǎn)變換到平面內(nèi)的點(diǎn)；若曲線經(jīng)變換后得到曲線，曲線經(jīng)變換后得到曲線，…，依次類推，曲線經(jīng)變換后得到曲線，當(dāng)時(shí)，記曲線與、軸正半軸的交點(diǎn)為和，某同學(xué)研究后認(rèn)為曲線具有如下性質(zhì)：①對(duì)任意的，曲線都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②對(duì)任意的，曲線恒過點(diǎn)；③對(duì)任意的，曲線均在矩形（含邊界）的內(nèi)部，其中的坐標(biāo)為；④記矩形的面積為，則；其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_______.

Answer 1

【答案】③④

【解析】

在曲線上任取一點(diǎn)，經(jīng)變換后得到曲線上的點(diǎn)，…….依次類推，經(jīng)變換后得到曲線上的點(diǎn)，根據(jù)變換得： ，兩邊取對(duì)數(shù)，得到

所以分別以為首項(xiàng)，以 為公比的等比數(shù)列，從而得到，再根據(jù)代入法求軌跡方程，得到 ，然后再對(duì)四個(gè)命題逐一討論，進(jìn)而得到正確的結(jié)論.

在曲線上任取一點(diǎn)

經(jīng)變換后得到曲線上的點(diǎn)，

曲線經(jīng)變換后得到曲線上的點(diǎn)，

依次類推，曲線上的點(diǎn)，

經(jīng)變換后得到曲線上的點(diǎn)，

根據(jù)題意得： ，

所以

即

所以分別以為首項(xiàng)，以 為公比的等比數(shù)列.

所以

所以

又因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上

所以

①點(diǎn)不適合，所以曲線不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；故錯(cuò)誤.

②令 所以曲線不過點(diǎn)；故錯(cuò)誤.

③令得，令 ，得,

因?yàn)?/span>，所以，

同理所以對(duì)任意的，曲線均在矩形（含邊界）的內(nèi)部，其中的坐標(biāo)為；故正確.

④記矩形的面積為，則，

故，故正確.

綜上：③④正確

故答案為：③④