Question

試在x軸上求點(diǎn)A，直線y＝x上求點(diǎn)B，使△ABC的周長最小，其中點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，1)．

Answer 1

答案：
解析：

[探究]顯然直接在直線y＝x上任取一點(diǎn)B的坐標(biāo)，在x軸上任取一點(diǎn)A的坐標(biāo)，這里涉及到3個(gè)變量，想求解它是困難的．怎么辦？不妨先作出圖形，將三角形的三邊之和轉(zhuǎn)化為一條線段上的距離之和，這樣就轉(zhuǎn)化成了兩點(diǎn)間距離的最小值．那又怎樣轉(zhuǎn)化？利用對稱點(diǎn)，將距離轉(zhuǎn)化為直線上等長的部分即可． 　　[解]如圖，分別作點(diǎn)C關(guān)于x軸、直線y＝x的對稱點(diǎn)、，則|AC|＝|A|，|BC|＝|B|，從而△ABC的周長＝|CB|＋|BA|＋|AC|＝|B|＋|BA|＋|A|＝折線段AB的長，顯然當(dāng)A、B分別為直線與x軸、直線y＝x的交點(diǎn)時(shí)，折線段AB的長最短． 　　易知，的坐標(biāo)為(2，－1)，的坐標(biāo)為(1，2)，由兩點(diǎn)式直線方程得，直線的方程為3x＋y－5＝0． 　　在上述方程中分別令y＝0，以及y＝x，解得． 　　[規(guī)律總結(jié)]1．求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，直線關(guān)于直線的對稱直線問題，其實(shí)質(zhì)便是垂直問題．點(diǎn)P關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)是指過P作直線l的垂線并延長使其長度等于點(diǎn)P到l的距離上的點(diǎn)，即 　　若l：Ax＋By＋C＝0，P(x1，y1)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為(x2，y2)，則 　　(AB≠0)． 　　特別地，點(diǎn)P(x，y)關(guān)于x軸、y軸以及直線x＝y(tǒng)的對稱點(diǎn)分別為(x，－y)、(－x，y)和(y，x)．