Question

【題目】已知， 若函數(shù)在上的最大值為，最小值為， 令.

（1）求的表達(dá)式;

（2）若關(guān)于的方程有解，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）實數(shù)的取值范圍為.

【解析】

（1）根據(jù)解析式，討論的取值范圍，求出的最值，得出（a）的表達(dá)式；

（2）先用定義判斷函數(shù)（a）在定義域上的單調(diào)性，再求出（a）的值域，把方程（a）有解轉(zhuǎn)化為（a）有解，求出的取值范圍即可．

(1)1分

∵，∴

①當(dāng)，即時，則時，函數(shù)取得最大值;時，函數(shù)取得最小值.

∴，

∴3分

②當(dāng)，即時，則時，函數(shù)取得最大值;時，函數(shù)取得最小值.

∴，

∴. 5分

綜上，得

（2）任取，且

，

∵，且

，，；

∴，即

∴

∴函數(shù)在上單調(diào)遞減 ，

任取，且

∵，且

，，；

∴，即

∴

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增 ，

當(dāng)時，取得最小值，其值為

又，

∴函數(shù)的值域為

∵關(guān)于的方程有解等價于有解

∴實數(shù)的取值范圍為函數(shù)的值域，

∴實數(shù)的取值范圍為.