【題目】已知.
(1)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值.
(2)若有兩個(gè)極值求實(shí)數(shù)的取值范圍。
(3)若,且,比較與的大小,并說明理由。
【答案】(1)的單調(diào)減區(qū)間為,單調(diào)增區(qū)間為,.
(2).
(3);理由見解析.
【解析】分析:(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù),可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求得函數(shù)的最小值,得到結(jié)果;
(2)根據(jù)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),得到其導(dǎo)數(shù)等于零有兩個(gè)不等的正根,且在根的兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)是相反的,分類討論求得結(jié)果;
(3)利用導(dǎo)數(shù)研究其大小,借助于基本不等式求得結(jié)果.
詳解:(1)∵ ∴,
∴,令,解得:,列表得:
0 | |||
單調(diào)減 | 極小值 | 單調(diào)增 |
∴的單調(diào)減區(qū)間為,單調(diào)增區(qū)間為,;
(2)∵有兩個(gè)極值點(diǎn)
∴在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn),且零點(diǎn)左右的的符號(hào)的相反.
設(shè),則.
當(dāng)時(shí),在上恒成立,所以在上單調(diào)增,在上最多有一個(gè)零點(diǎn),不合題意;
當(dāng)時(shí),由,解得:
∴時(shí),,時(shí),
∴在上單調(diào)增,則上單調(diào)減,
若,則,所以,在上最多有一個(gè)零點(diǎn),不合題意;若,,又,
(取其他小于0的函數(shù)值也可)
設(shè),,則在上恒成立
∴在上單調(diào)減 ∴,則時(shí),
∵ ∴ ∴
∴在、上各有一個(gè)零點(diǎn),且零點(diǎn)兩側(cè)的函數(shù)符號(hào)相反
∴
(3)結(jié)論:.下面證明:
由(1)知:在上單調(diào)減,在上單調(diào)增
∵ ∴,即
∴,同理
∴
∵,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),且
∴,則
∴ ∴.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)點(diǎn)M(x1 , f(x1))和點(diǎn)N(x2 , g(x2))分別是函數(shù)f(x)=ex﹣ x2和g(x)=x﹣1圖象上的點(diǎn),且x1≥0,x2>0,若直線MN∥x軸,則M,N兩點(diǎn)間的距離的最小值為( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ex(x2+ax+a). (I)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若關(guān)于x的不等式f(x)≤ea在[a,+∞)上有解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)是奇函數(shù).
(1)求a的值和函數(shù)f(x)的定義域;
(2)解不等式f(-m2+2m-1)+f(m2+3)<0.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=x2+aln(x+1)(a為常數(shù))
(Ⅰ)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)若函數(shù)y=f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1 , x2 , 且x1<x2 , 求證: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(Ⅰ)如表所示是某市最近5年個(gè)人年平均收入表節(jié)選.求y關(guān)于x的回歸直線方程,并估計(jì)第6年該市的個(gè)人年平均收入(保留三位有效數(shù)字).
年份x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
收入y(千元) | 21 | 24 | 27 | 29 | 31 |
其中,, 附1:= ,=﹣
(Ⅱ)下表是從調(diào)查某行業(yè)個(gè)人平均收入與接受專業(yè)培訓(xùn)時(shí)間關(guān)系得到2×2列聯(lián)表:
受培時(shí)間一年以上 | 受培時(shí)間不足一年 | 總計(jì) | |
收入不低于平均值 | 60 | 20 | |
收入低于平均值 | 10 | 20 | |
總計(jì) | 100 |
完成上表,并回答:能否在犯錯(cuò)概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“收入與接受培訓(xùn)時(shí)間有關(guān)系”.
附2:
P(K2≥k0) | 0.50 | 0.40 | 0.10 | 0.05 | 0.01 | 0.005 |
k0 | 0.455 | 0.708 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
附3:
K2=.(n=a+b+c+d)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A、B、C對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、c,已知.
(1)求cosB的值;
(2)若b=8,cos2A﹣3cos(B+C)=1,求△ABC的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,居民收入逐年增大,下表是該地一農(nóng)業(yè)銀行連續(xù)五年的儲(chǔ)蓄存款(年底余額),如下表:
為了研究方便,工作人員將上表的數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理,,得到下表:
(1)求關(guān)于的線性回歸方程;
(2)求關(guān)于的線性回歸方程;
(3)用所求回歸方程預(yù)測,到2020年底,該地儲(chǔ)蓄存款額大約可達(dá)多少?
(附:線性回歸方程:,,)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C: 過點(diǎn) ,左右焦點(diǎn)為F1(﹣c,0),F(xiàn)2(c,0),且橢圓C關(guān)于直線x=c對(duì)稱的圖形過坐標(biāo)原點(diǎn).
(I)求橢圓C方程;
(II)圓D: 與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),R為線段AB上任一點(diǎn),直線F1R交橢圓C于P,Q兩點(diǎn),若AB為圓D的直徑,且直線F1R的斜率大于1,求|PF1||QF1|的取值范圍.
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