Question

已知中心在原點的雙曲線的漸近線方程是y=±

3

x，且雙曲線過點（

2

，

3

）
（Ⅰ）求雙曲線的方程；
（Ⅱ）過雙曲線右焦點F作傾斜角為

π

4

的直線交雙曲線于A，B，求|AB|．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）設雙曲線方程為：3x²-y²=λ，點(

2

，

3

)代入，即可求雙曲線的方程；
（Ⅱ）直線AB的方程與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達定理及弦長公式，即可求|AB|．

解答： 解：（Ⅰ）設雙曲線方程為：3x²-y²=λ，點(

2

，

3

)代入得：λ=3，
所以所求雙曲線方程為：x2-

y2

3

=1…（6分）
（Ⅱ）直線AB的方程為：y=x-2，
由

y=x-2 3x2-y2=3

得：2x²+4x-7=0，…（10分）
∴|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

2

•

72

2

=6．…（12分）

點評：本題考查雙曲線方程，考查直線與雙曲線的位置關系，考查韋達定理的運用，屬于中檔題．