Question

在棱長為1的正方體AC₁中，E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為側(cè)面BB₁C₁C內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），若動(dòng)點(diǎn)P始終滿足PE⊥BD₁，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的長度為（　�。�

• A、

  1

  2

• B、

  2

  2

• C、

  3

  3

• D、

  2

  3

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：取BC，BB₁的中點(diǎn)F，G．先找到一個(gè)平面總是保持與BD₁垂直，即BD₁⊥面EFG，又點(diǎn)P在側(cè)面BCC₁B₁及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且總是保持AP與BD₁垂直，得到點(diǎn)P的軌跡為面EFG與面BCC₁B₁的交線段，結(jié)合平面的基本性質(zhì)知這兩個(gè)平面的交線是FG．

解答： 解：先找到一個(gè)平面總是保持與BD₁垂直，
取BC，BB₁的中點(diǎn)F，G．連接EF，F(xiàn)G，EG，
在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，有BD₁⊥面EFG，
又點(diǎn)P在側(cè)面BCC₁B₁及其邊界上運(yùn)動(dòng)，
根據(jù)平面的基本性質(zhì)得：
點(diǎn)P的軌跡為面EFG與面BCC₁B₁的交線段FG．
在直角三角形BFG中，BG=BF=

1

2

，∴FG=

2

2

．
故選：B．

點(diǎn)評：本題考查線面垂直的判定與正方體的幾何特征、軌跡的求法、平面的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象力．屬于基礎(chǔ)題．