Question

已知a為實(shí)常數(shù)，y=f（x）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=2x-

a3

x2

+1．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）≥a-1，?x＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由奇函數(shù)的對(duì)稱性可知，我們只要討論f（x）在區(qū)間（-∞，0）的單調(diào)性即可．
（2）對(duì)a的取值情況進(jìn)行討論，然后，根據(jù)恒成立問題進(jìn)行求解．

解答： 解：（1）∵當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=2x-

a3

x2

+1．
∴f′（x）=2+

2a3

x3

，
令f ′（x）=0，得x=-a．
①當(dāng)a≤0時(shí)，f ′（x）＞0，故f（x）在區(qū)間（-∞，0）是單調(diào)遞增．  …
②當(dāng)a＞0時(shí)，x∈（-∞，-a ），f ′（x）＞0，所以f（x）在區(qū)間（-∞，-a ）是單調(diào)遞增．
x∈（-a，0），f ′（x）＜0，所以f（x）在區(qū)間（-a，0）是單調(diào)減．
綜上所述：當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）單調(diào)增區(qū)間為（-∞，0），（0，+∞）；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-a ），（a，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-a，0），（0，a）．
（2）因?yàn)?I>f（x）為奇函數(shù)，
所以當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=-f（-x）=-（-2x-

a3

x2

+1）=2x+

a3

x2

-1．
①當(dāng)a＜0時(shí)，要使f（x）≥a-1對(duì)一切x＞0成立，2x+

a3

x2

≥a對(duì)一切x＞0成立．
而當(dāng)x=-

a

2

＞0時(shí)，有-a+4a≥a，所以a≥0，則與a＜0矛盾．
所以a＜0不成立．
②當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=2x-1＞-1=a-1對(duì)一切x＞0成立，故a=0滿足題設(shè)要求．
③當(dāng)a＞0時(shí)，由（1）可知f（x）在（0，a）是減函數(shù)，在（a，+∞）是增函數(shù)．
所以f_min（x）=f（a）=3a-1＞a-1，所以a＞0時(shí)也滿足題設(shè)要求．
綜上所述，a的取值范圍是[0，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的對(duì)應(yīng)關(guān)系，分類討論思想在求解單調(diào)區(qū)間中的應(yīng)用等知識(shí)．