Question

已知數(shù)列{a_n}及f_n（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，f_n（-1）=（-1）ⁿ•n，n=1，2，3，…
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）求證：

1

3

≤fn(

1

3

)＜1．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用,數(shù)列與不等式的綜合

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件利用函數(shù)的性質(zhì)能求出a₁，a₂，a₃的值．
（2）由已知條件推導(dǎo)出a_n+1=2n+1，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（3）由fn(x)=x+3x2+5x3+…+(2n-1)xn，利用錯(cuò)位相減法能證明

1

3

≤fn(

1

3

)＜1．

解答： （1）解：由已知f₁（-1）=-a₁=-1，所以a₁=1．…（1分）
f₂（-1）=-a₁+a₂=2，所以a₂=3．…（2分）
f₃（-1）=-a₁+a₂-a₃=-3，所以a₃=5．…（3分）
（2）解：令x=-1，則fn(-1)=a1(-1)+a2(-1)2+…+an(-1)n①
fn+1(-1)=a1(-1)+a2(-1)2+…+an(-1)n+an+1(-1)n+1②
兩式相減，得(-1)n+1•an+1=fn+1(-1)-fn(-1)=(-1)n+1•(n+1)-(-1)n•n，
所以a_n+1=（n+1）+n．即a_n+1=2n+1．…（5分）
又a₁=1也滿足上式，…（6分）
所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2n-1．（n=1，2，3…）．…（7分）
（3）證明：fn(x)=x+3x2+5x3+…+(2n-1)xn，
所以fn(

1

3

)=

1

3

+3(

1

3

)2+5(

1

3

)3+…+(2n-1)(

1

3

)n．③

1

3

•fn(

1

3

)=(

1

3

)2+3(

1

3

)3+5(

1

3

)4+…+(2n-1)(

1

3

)n+1．④
①-②，得

2

3

fn(

1

3

)=

1

3

+2(

1

3

)2+2(

1

3

)3+…+2(

1

3

)n-(2n-1)(

1

3

)n+1
=

1

3

+

2 9 [1-( 1 3 )n-1]

1- 1 3

-(2n-1)(

1

3

)n+1=

2

3

-

2n+2

3

(

1

3

)n，
∴fn(

1

3

)=1-

n+1

3n

．…（9分）
又n=1，2，3…，∴

n+1

3n

＞0故fn(

1

3

)＜1．
又fn+1(

1

3

)-fn(

1

3

)=

2n+1

3n+1

＞0
∴{fn(

1

3

)}是遞增數(shù)列，故fn(

1

3

)≥f1(

1

3

)=

1

3

…（11分）
∴

1

3

≤fn(

1

3

)＜1．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的前3項(xiàng)及通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．