Question

某車間甲組有10名工人，其中有4名女工人；乙組有5名工人，其中有3名女工人．現(xiàn)采用分層抽樣方法（層內(nèi)采用不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣）從甲、乙兩組中共抽取3名工人進(jìn)行技術(shù)考核．
（1）求從甲、乙兩組各抽取的人數(shù)；
（2）記ξ表示抽取的3名工人中男工人數(shù)，求ξ的分布及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：對(duì)于（1）求從甲、乙兩組各抽取的人數(shù)；因?yàn)椴捎梅謱映闃臃椒◤募�、乙兩組中共抽取3名工人進(jìn)行技術(shù)考核．且甲組有10名工人，乙組有5名工人，根據(jù)分層抽樣原理可直接得到答案．
對(duì)于（2）求ξ的分布及數(shù)學(xué)期望．首先記事件A_i表示事件：從甲組抽取的2名工人中恰有i名男工人，i=0，1，2．B表示事件：從乙組抽取的是1名男工人．故可得到ξ的可能取值為0，1，2，3．然后對(duì)每一個(gè)取值求概率．最后根據(jù)期望公式即可得到答案．

解答：解：（1）由于甲組有10名工人，乙組有5名工人，根據(jù)分層抽樣原理．若從甲、乙兩組中共抽取3名工人進(jìn)行技術(shù)考核，則從甲組抽取2名工人，乙組抽取1名工人．
（2）ξ的可能取值為0，1，2，3．
A_i表示事件：從甲組抽取的2名工人中恰有i名男工人，i=0，1，2．
B表示事件：從乙組抽取的是1名男工人．
A_i與B獨(dú)立，i=0，1，2．
當(dāng)ξ=0時(shí)，P（ξ=0）=P（A0

.

B

）=P（A₀）P（

.

B

）=

C 2 4

C 2 10

•

C 1 3

C 1 5

=

6

75

當(dāng)ξ=1時(shí)，P（ξ=1）=P（A0B+A1

.

B

）=P（A₀）P（B）+P（A₁）P（

.

B

）=

C 2 4

C 2 10

•

C 1 2

C 1 5

+

C 1 6 C 1 4

C 2 10

•

C 1 3

C 1 5

=

28

75

當(dāng)ξ=3時(shí)，P（ξ=3）=P（A₂B）=P（A₂）•P（B）=

C 2 6

C 2 10

•

C 1 2

C 1 5

=

10

75

當(dāng)ξ=2時(shí)，P（ξ=2）=1-[P（ξ=0）+P（ξ=1）+P（ξ=3）]=

31

75

．
故期望Eξ=0×P（ξ=0）+1×P（ξ=1）+2×P（ξ=2）+3×P（ξ=3）=

8

5

．
故答案為

8

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查分層抽樣的概念以及離散型隨機(jī)變量的期望和方差，題中涉及到獨(dú)立事件概率的求法．涵蓋知識(shí)點(diǎn)多，有一定的計(jì)算量，屬于難題．