Question

動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)F（0，1）的距離和它到直線l：y=-1的距離相等，記點(diǎn)P的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)A（0，a）（a＞2），動(dòng)點(diǎn)T在曲線C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，|AT|的最短距離為a-1，求a的值以及取到最小值時(shí)點(diǎn)T的坐標(biāo)；
（3）設(shè)P₁，P₂為曲線C的任意兩點(diǎn)，滿足OP₁⊥OP₂（O為原點(diǎn)），試問(wèn)直線P₁P₂是否恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)？如果是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；如果不是，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）根據(jù)拋物線的定義可知，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是拋物線，且拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，1），準(zhǔn)線方程為l：y=-1，由此能求出曲線C的方程．
（2）設(shè)點(diǎn)T（x₀，y₀），x₀²=4y₀ （y₀≥0），|AT|=

[y0-(a-2)]2+4a-4

，由此能求出a的值以及取到最小值時(shí)點(diǎn)T的坐標(biāo)．
（3）由題意得直線OP₁、OP₂的斜率都必須存在，記為k，-

1

k

，聯(lián)立

y=kx x2=4y

，解得P₁（

4

k

，

4

k2

），同理P₂（-4k，4k²），由此能證明直線P₁P₂恒過(guò)點(diǎn)（0，4）．

解答： 解：（1）∵動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)F（0，1）的距離和它到直線l：y=-1的距離相等，
∴根據(jù)拋物線的定義可知，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是拋物線，
且拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，1），準(zhǔn)線方程為l：y=-1，
所以曲線C的方程為x²=4y．…（4分）
（2）設(shè)點(diǎn)T（x₀，y₀），x₀²=4y₀ （y₀≥0），
|AT|=

(x0-0)2+(y0-a)2

=

[y0-(a-2)]2+4a-4

，
a-2＞0，則當(dāng)y₀=a-2時(shí)，|AT|取得最小值為2

a-1

，
2

a-1

=a-1，a²-6a+5=0，a=5或a=1 （舍去），
所以y₀=a-2=3，x₀=±2

3

，所以T坐標(biāo)為（±2

3

，3）；…（10分）
（3）由題意得直線OP₁、OP₂的斜率都必須存在，記為k，-

1

k

，
聯(lián)立

y=kx x2=4y

，解得P₁（

4

k

，

4

k2

），同理P₂（-4k，4k²），
直線P₁P₂的斜率為

1-k2

k

，直線P₁P₂方程為：y-4k2=

1-k2

k

(x+4k)
整理得：k（y-4）+（k²-1）x=0，
所以直線P₁P₂恒過(guò)點(diǎn)（0，4）…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線方程的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)值以及取到最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，考查直線是否恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)的判斷與求法，解題時(shí)要注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．