Question

如圖，設(shè)拋物線C：x²=4y的焦點為F，P（x₀，y₀）為拋物線上的任一點（其中x₀≠0），過P點的切線交y軸于Q點．
（1）若P（2，1），求證|FP|=|FQ|；
（2）已知M（0，y₀），過M點且斜率為

x0

2

的直線與拋物線C交于A、B兩點，若

AM

=λ

MB

（λ＞1），求λ的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由拋物線定義知|PF|=y₀+1=2，設(shè)過P點的切線方程為y-1=k（x-2），由

y-1=k(x-2) x2=4y

，得x²-4kx+8k-4=0，由此利用根的判別式能證明|PF|=|QF|．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），又M點坐標(biāo)為（0，y₀），AB方程為y=

x0

2

x+y0，由

x2=4y y= x0 2 x+y0

，得x²-2x₀x-4y₀=0，由此利用韋達(dá)定理，結(jié)合已知條件能求出λ的值．

解答： （本小題12分）
（Ⅰ）證明：由拋物線定義知|PF|=y₀+1=2，…．（2分）．
設(shè)過P點的切線方程為y-1=k（x-2），
由

y-1=k(x-2) x2=4y

，得x²-4kx+8k-4=0，
令△=16k²-4（8k-4）=0，得k=1，
可得PQ所在直線方程為y-y₀=

x0

2

(x-x0)，
∴得Q點坐標(biāo)為（0，-1）
∴|QF|=2，即|PF|=|QF|…．（6分）
（Ⅱ）解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），又M點坐標(biāo)為（0，y₀）
∴AB方程為y=

x0

2

x+y0，
由

x2=4y y= x0 2 x+y0

，得x²-2x₀x-4y₀=0，
∴x₁+x₂=2x₀，x1x2=-4y0=-x02，①
由

AM

=λ

MB

，得（-x₁，y₀-y₁）=λ（x₂，y₂-y₀），
∴x₁=-λx₂，②
由①②，得

(1-λ)x2=2x0 λx22=x02

，整理，得(1-λ)2x22=4λx22，
由x₀≠0，得x₂≠0，
∴（1-λ）²=4λ，又λ＞1，解得λ=3+2

2

．

點評：本題考查線段長相等的證明，考查滿足條件的實數(shù)值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．