Question

已知實(shí)數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，點(diǎn)P（-3，0）在動(dòng)直線ax+by+c=0（a，b不同時(shí)為零）上的射影點(diǎn)為M，若點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，3），則線段MN長(zhǎng)度的最大值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系

專題：直線與圓

分析：實(shí)數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，可得2b=a+c，于是動(dòng)直線l：ax+by+c=0（a，b不同時(shí)為零）化為：ax+

a+c

2

y+c=0，即a（2x+y）+c（y+2）=0，利用直線系可得：動(dòng)直線l過(guò)定點(diǎn)：Q（1，-2）．因此點(diǎn)M在以PQ為直徑的圓上，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：圓心為線段PQ的中點(diǎn)：C（-1，-1），半徑r．則線段MN長(zhǎng)度的最大值=|CN|+r．

解答： 解：∵實(shí)數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，
∴2b=a+c，
∴動(dòng)直線l：ax+by+c=0（a，b不同時(shí)為零）化為：ax+

a+c

2

y+c=0，變形為a（2x+y）+c（y+2）=0，
令

2x+y=0 y+2=0

，解得

x=1 y=-2

．
∴動(dòng)直線l過(guò)定點(diǎn)：Q（1，-2）．
∴點(diǎn)M在以PQ為直徑的圓上，
圓心為線段PQ的中點(diǎn)：C（-1，-1），半徑r=

22+1

=

5

．
∴線段MN長(zhǎng)度的最大值=|CN|+r=

32+42

+

5

=5+

5

．
故答案為：5+

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了直線系、等差數(shù)列的性質(zhì)、圓的性質(zhì)、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、兩點(diǎn)之間的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．